Géométrie plane et démonstration

1. La trigonométrie dans le triangle rectangle

Dans un triangle rectangle, les rapports entre les longueurs des côtés sont connus sous le nom de fonctions trigonométriques.

1.1. Les principales fonctions

• Sinus d'un angle \( heta \):
  sin \( heta \) = \(\dfrac{ ext{opposé}}{ ext{hypoténuse}}\)
• Coscinus d'un angle \( heta \):
  cos \( heta \) = \(\dfrac{ ext{adjacent}}{ ext{hypoténuse}}\)
• Tangente d'un angle \( heta \):
  tan \( heta \) = \(\dfrac{ ext{opposé}}{ ext{adjacent}}\)

1.2. Application

Connaissant un angle et une longueur de côté, on peut calculer les autres côtés en utilisant ces fonctions :

• Exemple : Si \( \sin heta = \dfrac{3}{5} \) et \( heta \) est dans un triangle rectangle, alors le côté opposé vaut 3 unités si l'hypoténuse vaut 5 unités.

2. La démonstration de propriétés dans le triangle rectangle

Les propriétés trigonométriques sont prouvées à partir du théorème de Pythagore.

2.1. Théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, si les longueurs des côtés sont \( a \) et \( b \) pour les catètes, et \( c \) pour l'hypoténuse :

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]

2.2. Utilisation pour démontrer

Ce théorème permet de prouver que les valeurs des fonctions trigonométriques sont cohérentes avec le dessin du triangle.

3. Propriétés des figures en géométrie plane

3.1. Figures remarquables

• Triangles : isocèles, équilatéraux, rectangles.
• Quadrilatères : rectangle, carré, parallélogramme, trapèze.

3.2. Propriétés spécifiques

• Le carré possède 4 côtés égaux et 4 angles droits.
• Le rectangle possède 4 angles droits.
• Le parallélogramme a des côtés opposés parallèles et égaux.
• Le trapèze a au moins une paire de côtés parallèles.

3.3. Symétries et constructions

Les figures en géométrie peuvent être intégralement construites ou transformées par symétrie, rotation ou translation, en utilisant des outils comme la règle et le compas.