Géométrie plane : Théorèmes de Pythagore et de Thalès

1. Le théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore concerne les triangles rectangles. Il énonce que :

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Si on note \( a \) et \( b \) les longueurs des côtés adjacents à l'angle droit, et \( c \) l'hypoténuse, alors :

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]

Ce théorème permet de calculer une longueur manquante dans un triangle rectangle, ou de vérifier si un triangle est rectangle.

2. Le théorème de Thalès

Le théorème de Thalès concerne deux droites parallèles et une sécante qui les coupe. Il permet d'établir des rapports entre des segments.

Supposons deux droites parallèles \( (d) \) et \( (d') \), et une droite sécante qui coupe ces deux droites en des points. Si on note :

• \( A \) et \( B \) les points d'intersection avec la première droite,
• \( C \) et \( D \) les points d'intersection avec la seconde droite,
• \( M \) un point quelconque sur la sécante entre \( A \) et \( C \),

alors, les segments sont liés par la relation :

\[ rac{AM}{MC} = rac{AB}{BC} = rac{AD}{DC} \]

Ce théorème est très utile pour comparer des longueurs dans des figures géométriques.

3. Utilisations concrètes

• Calculer une longueur inconnue dans un triangle rectangle avec le théorème de Pythagore.
• Vérifier si des segments sont proportionnels grâce au théorème de Thalès.

4. Résumé

• Pythagore : \( c^2 = a^2 + b^2 \) pour un triangle rectangle.
• Thalès : rapports de segments entre deux droites parallèles coupées par une sécante.