Géométrie plane : Théorèmes de Pythagore et de Thalès

Introduction

En géométrie plane, les théorèmes de Pythagore et de Thalès sont deux outils fondamentaux pour étudier les triangles et les segments dans le plan. Ils permettent de démontrer des propriétés importantes et de résoudre des exercices variés.

Théorème de Pythagore

Énoncé

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Formule

Si \( riangle ABC\) est un triangle rectangle en \(C\), alors :

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

Exemples

Si un triangle rectangle a des côtés \(AC = 3\,cm\) et \(BC = 4\,cm\), alors :

\[ AB^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \Rightarrow AB = 5\,cm \]

Théorème de Thalès

Énoncé

Si deux droites sont coupées par deux transversales parallèles, alors les segments qu'elles forment sont proportionnels.

Situation graphique

Considérons deux droites parallèles \( (d) \) et \( (d') \), coupées par deux transversales qui intersectent ces droites en points. Si l’on note :

• sur la première transversale : \(A, B\),
• sur la seconde transversale : \(A', B'\),
• avec des points communs aux droites parallèles,

Alors :

\[ rac{AB}{BC} = rac{A'B'}{B'C'} \]

Conséquences

Ce théorème permet notamment de déterminer des longueurs inconnues dans des situations où des segments sont proportionnels, ou de vérifier la parallélisme de deux droites.

Résumé

• Le théorème de Pythagore s'applique aux triangles rectangles et relie les longueurs des côtés.
• Le théorème de Thalès concerne la proportionnalité dans des figures avec des droites parallèles coupées par des transversales.

Ces deux théorèmes sont essentiels pour résoudre des problèmes de géométrie plane, notamment ceux liés aux triangles et aux segments proportionnels.