Géométrie plane : transformations et démonstrations

Introduction

En géométrie, différentes transformations permettent de déplacer ou modifier une figure tout en conservant certaines propriétés. Nous allons étudier ici la translation, la symétrie axiale et centrale, la rotation, et l'homothétie, en expliquant leur définition, leurs propriétés et quelques exemples.

1. La translation

La translation déplace une figure de façon parallèle, sans la déformer. Elle se caractérise par un vecteur \( ec{v} \).

Si un point \(M\) de coordonnées \((x, y)\) est déplacé par la translation, son image \(M'\) a pour coordonnées :

\[ M' = (x + a, y + b) \]

où \( ec{v} = egin{bmatrix} a \ b \end{bmatrix} \).

2. La symétrie axiale

La symétrie axiale autour d'une droite \(d\) transforme chaque point en son image symétrique par rapport à cette droite. La figure est ainsi reflétée comme dans un miroir.

Propriétés :

• Les points de la droite \(d\) restent invariants.
• Les distances à la droite \(d\) sont conservées.

Dans un repère, si la droite \(d\) est une droite d'équation \(ax + by + c = 0\), on peut calculer l'image d'un point \(M(x, y)\) en utilisant les formules de réflexion, mais en général, la construction graphique est privilégiée.

3. La rotation

La rotation d'angle \( heta \) autour d'un point \(O\) (centre de rotation) consiste à faire tourner une figure d'un angle \( heta \) dans le sens antihoraire.

Les coordonnées d'un point \(M(x, y)\) après rotation autour de \(O(x_0, y_0)\) sont :

\[ egin{cases}\n x' = x_0 + (x - x_0) \cos 	heta - (y - y_0) \sin 	heta \\
 y' = y_0 + (x - x_0) \sin 	heta + (y - y_0) \cos 	heta
\end{cases}\]

Les rotations préservent les longueurs et les angles.

4. L'homothétie

L'homothétie d'centre \(O\) et de rapport \(k\) transforme une figure en la redimensionnant. Si \(k > 1\), la figure est agrandie ; si \(0 < k < 1\), elle est réduite.

Les coordonnées du point \(M(x, y)\) sont transformées en :

\[ M' = \left( x_0 + k(x - x_0), \, y_0 + k(y - y_0) ight) \]

L'homothétie conserve les angles mais modifie les longueurs proportionnellement au rapport \(k\).

Conclusion

Ces transformations sont fondamentales en géométrie. Elles permettent de déplacer, refléter, faire tourner ou redimensionner des figures tout en conservant certaines propriétés comme les longueurs, les angles ou la configuration relative des figures.