Géométrie plane : translations, symétries, rotations et homothéties

1. La translation

La translation est un déplacement de tout le plan selon une direction et une distance données. Elle conserve la forme et la taille des figures.

Représentée par un vecteur \( ec{v} \), une translation transforme un point \( M \) en un point \( M' \) tel que : M' = M + ec{v} .

2. La symétrie axiale

La symétrie axiale est un reflet par rapport à une droite donnée (droite de symétrie).

Chaque point \( M \) et son image \( M' \) sont tels que la droite de symétrie est la médiatrice du segment \([MM']\).

Propriétés :

• La figure est une image miroir.
• Les mesures de distance sont conservées.

3. La symétrie centrale

La symétrie centrale (ou point) concerne un point \( O \). Elle transforme tout point \( M \) en \( M' \) tel que :

\[ extbf{O} ext{ est le centre de symétrie} \]

Et :

\[ ec{OM'} = - ec{OM} \]

Autrement dit, \( M' \) est le point symétrique de \( M \) par rapport à \( O \).

4. La rotation

La rotation est un déplacement qui fait tourner la figure autour d'un point fixe \( O \), appelé centre de rotation, d'un angle \( heta\).

Les propriétés :

• Les distances \( ext{OM}\) et \( ext{OM'}\) sont égales.
• Les points \( M \), \( M' \) et \( O \) sont alignés.
• Le sens de rotation peut être horaire ou antihoraire.

5. L'homothétie

L'homothétie est une transformation qui agrandit ou réduit une figure par rapport à un point fixe \( O \), appelé centre d'homothétie, avec un rapport \( k \).

Les points \( M \) et leur image \( M' \) vérifient :

\[ ec{OM'} = k imes ec{OM} \]

Voici quelques cas :

• Si \(k > 1\), la figure est agrandie.
• Si \(0 < k < 1\), la figure est réduite.
• Si \(k = 1\), la figure ne change pas.

Résumé

Ces transformations permettent de déplacer, agrandir ou réduire des figures tout en conservant certaines propriétés. Elles sont fondamentales en géométrie pour prouver des propriétés ou construire des figures transformées.