Géométrie repérée : Coordonnées du projeté orthogonal

Introduction

En géométrie repérée, lorsqu'on travaille dans un plan muni d'un système de coordonnées, il est souvent utile de déterminer la position d'un point par rapport à une base de référence. Le projeté orthogonal est une méthode permettant de représenter la position d’un point par ses coordonnées projetées sur un axe ou un plan.

Concept de projeté orthogonal

Le projeté orthogonal d’un point \(\mathrm{M}\) sur un axe ou un plan est la réalisation d’un segment perpendiculaire à cet axe ou ce plan, dont l’extrémité appartient à \(\mathrm{M}\) et l’autre à l’axe ou au plan.

Coordinées du projeté orthogonal

Considérons un point \(\mathrm{M}\) de coordonnées \((x, y)\) dans un repère orthogonal du plan, et un axe horizontal \(x\) et un axe vertical \(y\).

Les coordonnées du projeté orthogonal du point \(\mathrm{M}\) sur l’axe \(x\) (abscisse) sont simplement : \(oxed{(x, 0)}\) — le point sur l’axe \(x\) ayant la même abscisse que \(\mathrm{M}\).

De même, les coordonnées du projeté orthogonal du point \(\mathrm{M}\) sur l’axe \(y\) (ordonnée) sont : \(oxed{(0, y)}\).

Exemple

Soit le point \(\mathrm{M}(3, 4)\). Son projeté orthogonal sur l’axe \(x\) est \(\mathrm{M_x}(3, 0)\), et celui sur l’axe \(y\) est \(\mathrm{M_y}(0, 4)\).

Résumé

• Le projeté orthogonal d’un point sur un axe est l’intersection du segment perpendiculaire à cet axe passant par le point.
• Les coordonnées du projeté orthogonal sur l’axe \(x\) ont la même abscisse que le point et une ordonnée nulle.
• Les coordonnées du projeté orthogonal sur l’axe \(y\) ont la même ordonnée que le point et une abscisse nulle.

Conclusion

Les coordonnées du projeté orthogonal permettent de repérer la position d’un point par rapport à un axe ou un plan, facilitant ainsi la lecture géométrique et la résolution de problèmes en géométrie plane.