Géométrie repérée : Coordonnées du projeté orthogonal

Introduction

En géométrie dans l'espace, il est souvent utile de représenter un point en utilisant ses coordonnées dans un repère. Lorsqu'on projette un point sur un plan, on parle de projection orthogonale. Ce cours explique comment déterminer les coordonnées du projeté orthogonal d'un point sur un plan.

Repérage dans l'espace

Considérons un repère orthonormé \((O; ec{i}, ec{j}, ec{k})\) dans l'espace à trois dimensions. Un point \(M\) a pour coordonnées \((x, y, z)\) :

• \(x\) : la distance du point par rapport à l'axe \(O ightarrow ec{i}\),
• \(y\) : la distance du point par rapport à l'axe \(O ightarrow ec{j}\),
• \(z\) : la distance du point par rapport à l'axe \(O ightarrow ec{k}\).

Projection orthogonale sur un plan

Supposons un plan \(\mathcal{P}\) donné par une équation \(ax + by + cz + d = 0\), où \((a, b, c)\) est un vecteur normal au plan.

Le point \(M(x, y, z)\) a pour projection orthogonale \(M'\) sur \(\mathcal{P}\). La relation entre \(M\) et \(M'\) repose sur la droite passant par \(M\) perpendiculairement à \(\mathcal{P}\).

Calcul des coordonnées du projeté

Les coordonnées du point projeté \(M' (x', y', z')\) sont données par :

• \(x' = x - \lambda a\),
• \(y' = y - \lambda b\),
• \(z' = z - \lambda c\),

où \(\lambda\) est un paramètre réel calculé pour garantir que \(M'\) appartient au plan :

\[ a x' + b y' + c z' + d = 0 \]

En remplaçant \(x', y', z'\) :

\[ a (x - \lambda a) + b (y - \lambda b) + c (z - \lambda c) + d=0 \]

Ce qui donne :

\[ \lambda = rac{a x + b y + c z + d}{a^2 + b^2 + c^2} \]

Exemple

Soit le point \(M(3, 4, 5)\) et le plan \(2x - y + 2z - 6=0\). Trouvons les coordonnées de \(M'\).

Calculons \(\lambda\) :

\[ \lambda = rac{2 	imes 3 + (-1) 	imes 4 + 2 	imes 5 - 6}{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = rac{6 -4 + 10 -6}{4 + 1 + 4} = rac{6}{9} = rac{2}{3} \]

Coordonnées de \(M'\) :

• \(x' = 3 - rac{2}{3} imes 2 = 3 - rac{4}{3} = rac{9}{3} - rac{4}{3} = rac{5}{3}\)
• \(y' = 4 - rac{2}{3} imes (-1) = 4 + rac{2}{3} = rac{12}{3} + rac{2}{3} = rac{14}{3}\)
• \(z' = 5 - rac{2}{3} imes 2 = 5 - rac{4}{3} = rac{15}{3} - rac{4}{3} = rac{11}{3}\)

Le projeté \(M'\) a pour coordonnées \(\left(rac{5}{3}, rac{14}{3}, rac{11}{3} ight)\).

Conclusion

Les coordonnées du projete orthogonal d'un point sur un plan sont calculées à partir du vecteur normal au plan et de la position du point initial. La formule du paramètre \(\lambda\) permet de déterminer la position exacte du point projeté.