Équation d’un cercle

Géométrie repérée : Équation d’un cercle à partir du centre et du rayon

Introduction

En géométrie, un cercle est l'ensemble des points situés à une distance fixe, appelée rayon, d’un point donné appelé centre. Cette définition permet d’établir une formule mathématique du cercle.

Les caractéristiques du cercle

Centre : un point \( O \) de coordonnées \( (x_0, y_0) \).
Rayon : une distance \( R \), toujours positive.

Forme générale de l’équation d’un cercle

Si un point \( M(x, y) \) appartient au cercle, alors la distance entre \( M \) et le centre \( O(x_0, y_0) \) est égale au rayon \( R \). Cela s’écrit :

la distance \( OM = R \)

En utilisant la formule de la distance entre deux points, cela devient :

(x - x_0)

² + (y - y_0)² = R² (x - x_{0})^2 + (y - y_{0})^2 = R^2

Ce qui donne l’équation du cercle :

\( (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2 \)

Exemple

Considérons un centre \( O(3, -2) \) et un rayon \( R=5 \). L’équation du cercle est :

(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25