Géométrie repérée : La parabole, sommet, axe de symétrie et lien avec le polynôme du second degré

Introduction

La parabole est une courbe du plan qui possède des propriétés géométriques et algébriques importantes. Elle apparaît souvent dans la résolution de problèmes liés à l'optique, la trajectoire, ou l'architecture.

1. La représentation graphique d'une parabole

Une parabole peut être représentée par une fonction du second degré :

y = ax^2 + bx + c

avec a ≠ 0.

2. Le sommet de la parabole

Le sommet est le point le plus haut ou le plus bas de la parabole, selon que a est négatif ou positif.

Formule du sommet :

S(x_s, y_s) avec x_s = -rac{b}{2a} et y_s = c - rac{b^2}{4a}

Ce point est le point d'application de la parabole où il change de concavité.

3. L'axe de symétrie

L'axe de symétrie est une droite qui passe par le sommet et divise la parabole en deux parties symétriques :

x = -rac{b}{2a}

Il correspond à la valeur de x du sommet, c'est la ligne de symétrie.

4. Lien avec le polynôme du second degré

La parabole est la courbe représentative d'un trinôme quadratique :

f(x) = ax^2 + bx + c

Le sommet s'exprime en fonction des coefficients, ce qui permet de géolocaliser précisément la parabole sur le plan.

Conclusion

La compréhension du sommet, de l'axe de symétrie, et leur relation avec les coefficients du polynôme du second degré est essentielle pour l'étude géométrique des paraboles en 1ère.