Géométrie repérée : La parabole, sommet, axe de symétrie et lien avec les polynômes du second degré

1. Définition de la parabole

Une parabole est l'ensemble des points situés à une distance constante d'une droite fixe appelée foyer et d'une ligne fixe appelée directrice.

2. Equation d'une parabole parabolique

Dans un repère cartésien, une parabole canoniquement représentée a pour équation :
\[ y = ax^2 + bx + c \quad ext{avec } a eq 0 \]

C'est ce qu'on appelle un polynôme du second degré.

3. Sommet de la parabole

Le sommet est le point de la parabole où la fonction atteint son extremum (minimum ou maximum).
Les coordonnées du sommet \( (x_s, y_s) \) sont : \[ x_s = -rac{b}{2a} \quad ext{et} \quad y_s = c - rac{b^2}{4a} \]

Le sommet est l’axe de symétrie de la parabole.

4. Axe de symétrie

L'axe de symétrie est la droite verticale qui passe par le sommet, dont l’équation est :

\[ x = -rac{b}{2a} \]

Elle divise la parabole en deux parties symétriques.

5. Lien avec les polynômes du second degré

Une parabole peut aussi s’écrire sous la forme :

\[ y = ax^2 + bx + c \]

où :

• \(a\) détermine l'ouverture (vers le haut si \(a > 0\), vers le bas si \(a < 0\)) ;
• \(b\) influence la position du sommet ;
• \(c\) est l’ordonnée à l’origine (point où la parabole coupe l’axe des y).

Le sommet et l'axe de symétrie se calculent directement à partir des coefficients \(a, b, c\).

Résumé

• Une parabole est définie par une équation du second degré.
• Le sommet est son point extrême calculé par \( x_s = -rac{b}{2a} \) et \( y_s \).
• L’axe de symétrie passe par le sommet, avec l’équation \( x = -rac{b}{2a} \).