Géométrie repérée : Orthogonalité dans l'espace

Introduction

Dans l'espace, deux vecteurs sont dits orthogonaux (perpendiculaires) lorsqu'ils forment un angle droit, c'est-à-dire un angle de 90°. Cela est fondamental en géométrie pour comprendre la disposition des éléments dans l'espace.

Vecteurs dans l'espace

Un vecteur dans l'espace s'exprime grâce à ses composantes : si \( ec{u} = (u_1, u_2, u_3) \) et \( ec{v} = (v_1, v_2, v_3) \), ils représentent deux directions dans l'espace.

Le produit scalaire dans l'espace

Le produit scalaire de deux vecteurs \( ec{u} \) et \( ec{v} \) est défini comme :

\[ ec{u} \cdot ec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 \]

Critère d'orthogonalité

Deux vecteurs \( ec{u} \) et \( ec{v} \) sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul :

\[ ec{u} \cdot ec{v} = 0 \]

En résumé, si \( u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 = 0 \), alors \( ec{u} \) et \( ec{v} \) sont orthogonaux.

Exemple concret

Considérons \( ec{u} = (1, 2, -1) \) et \( ec{v} = (2, -1, 0) \). Vérifions si ces vecteurs sont orthogonaux :

\[ ec{u} \cdot ec{v} = (1)(2) + (2)(-1) + (-1)(0) = 2 - 2 + 0 = 0 \]

Comme le produit scalaire est nul, les vecteurs \( ec{u} \) et \( ec{v} \) sont orthogonaux.

Conclusion

Dans l'espace, pour vérifier si deux vecteurs sont orthogonaux, il suffit de calculer leur produit scalaire. Si celui-ci est nul, ils sont perpendiculaires.