Géométrie repérée : Vecteur normal à une droite, équation cartésienne

1. Introduction

En géométrie dans le plan, une droite peut être représentée par une équation cartésienne. La notion de vecteur normal est essentielle pour définir cette droite.

2. Vecteur normal à une droite

Un vecteur normal à une droite est un vecteur qui est perpendiculaire à cette droite. Si la droite est donnée par une équation, on peut en déterminer un vecteur normal facilement.

3. Détermination du vecteur normal

Considérons une droite d dont l'équation cartésienne est :

\( ax + by + c = 0 \)

Le vecteur n = \([a, b]\)

est un vecteur normal à la droite. En effet, pour tout point (x, y) appartenant à d, on a :

\( a x + b y + c = 0 \)

Ce qui traduit que le vecteur n est perpendiculaire à tout vecteur tangent à la droite.

4. Équation cartésienne de la droite

Une droite peut aussi être définie par un point de la droite (x_0, y_0) et un vecteur normal n = \([a, b]\). L'équation est alors :

\( a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0 \)

Ce qui revient à développer :

\( a x + b y + d = 0 \)

avec :

\( d = -a x_0 - b y_0 \)

5. Résumé

• Le vecteur normal à une droite $ extbf{n} = [a, b]$ est donné par les coefficients de son équation.
• L'équation cartésienne d'une droite repose sur cette relation : \( a x + b y + c = 0 \).
• Un vecteur normal est perpendiculaire à la droite et permet de définir son orientation.