Géométrie repérée : Vecteur normal à une droite et équation cartésienne

1. Introduction

En géométrie analytique, toute droite dans le plan peut être représentée par une équation cartésienne. Nous allons voir comment déterminer un vecteur normal à cette droite, appelé vecteur normal.

2. Vecteur normal à une droite

Considérons une droite \(d\), définie par son équation cartésienne :
\[a x + b y + c = 0\] où \(a\), \(b\), et \(c\) sont des constantes.

Un vecteur normal à cette droite est un vecteur qui lui est perpendiculaire. Il est donné par :

\[ ec{n} = (a, b) \]

Ce vecteur est normal car il satisfait la relation d orthogonalité avec le vecteur directeur de la droite.

3. Relation entre le vecteur normal et l’équation cartésienne

On peut écrire l’équation cartésienne à partir du vecteur normal \(ec{n} = (a, b)\) et d’un point \(M(x, y)\) appartenant à la droite :

\[a (x - x_0) + b (y - y_0) = 0\]

où \((x_0, y_0)\) est un point de la droite. En développant, cela revient à l’équation général :

\[a x + b y + c = 0\]

avec \(c = - a x_0 - b y_0\).

4. Exemple

Considérons la droite d donnée par :

\[3 x - 4 y + 5 = 0\]

Un vecteur normal à cette droite est :

\(ec{n} = (3, -4)\)

Et tout point \(M(x, y)\) appartient à cette droite s’il vérifie :

\[3x - 4 y + 5 = 0\]

5. Résumé

• Le vecteur normal à une droite \(a x + b y + c = 0\) est \(ec{n} = (a, b)\).
• L’équation cartésienne s’écrit avec ce vecteur normal et un point de la droite.