Géométrie Vectorielle

1. Bases vectorielles

Une base d'un espace vectoriel est un ensemble de vecteurs qui sont linéairement indépendants et qui permettent de représenter tous les vecteurs de cet espace.

• Dans le plan (2D), une base typique est formée de deux vecteurs non colinéaires, par exemple u et v.
• Chaque vecteur v peut s'écrire comme une combinaison linéaire :
  v = a * u + b * v où a et b sont des réels.

2. Produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs u et v dans le plan est défini par :

    u · v = |u| * |v| * cos(θ)

où |u| et |v| sont les modules des vecteurs et θ l'angle entre eux.

• Le produit scalaire permet de déterminer si deux vecteurs sont perpendiculaires :
  u · v = 0 si et seulement si ils sont orthogonaux.
• Il est aussi utilisé pour calculer l'angle entre deux vecteurs :

    cos(θ) = (u · v) / (|u| * |v|)

3. Multiplication par un réel

Multiplier un vecteur v par un réel k modifie sa longueur :

    k * v

• Si k > 0, le vecteur conserve sa direction et sa longueur est multipliée par k.
• Si k < 0, le vecteur s'inverse de direction et sa longueur est multipliée par |k|.

Exemple :
si v = (2, 3) et k = 3, alors 3 * v = (6, 9).