Géométrie Vectorielle : Bases, Produit Scalaire et Multiplication par un Réel

1. Bases vectorielles

Dans un espace vectoriel, une base est un ensemble de vecteurs linéairement indépendants qui permet d'exprimer tous les vecteurs de l'espace par des combinaisons linéaires. Par exemple, dans \(\mathbb{R}^2\), la base canonique est \(\{ ec{e}_1, ec{e}_2 \}\) où \(ec{e}_1 = (1, 0)\) et \(ec{e}_2 = (0, 1)\).

Tout vecteur \(ec{v}\) peut s'écrire sous la forme : \[ ec{v} = x ec{e}_1 + y ec{e}_2 \] avec \(x, y \in \mathbb{R}\).

2. Multiplication par un réel

Pour un vecteur \(ec{v}\) et un réel \(k\), la multiplication par un réel est définie comme :

\[ k ec{v} = (k v_x, k v_y) \] dans \(\mathbb{R}^2\) ou en général :

\[ k ec{v} = (k v_1, k v_2, \dots, k v_n) \] dans un espace de dimension \(n\).

Cette opération modifie la longueur du vecteur sans changer sa direction si \(k > 0\), ou inverse sa direction si \(k < 0\).

3. Produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs \(ec{u} = (u_1, u_2)\) et \(ec{v} = (v_1, v_2)\) est défini par :

\[ ec{u} \cdot ec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 \]

Ce produit permet de mesurer l'angle entre deux vecteurs et de déterminer leur orthogonalité :

• Si \(ec{u} \cdot ec{v} = 0\), alors \(ec{u}\) et \(ec{v}\) sont orthogonaux (perpendiculaires).
• La norme ou longueur du vecteur \(ec{v}\) est :

\[ \| ec{v} \| = \sqrt{ec{v} \cdot ec{v}} = \sqrt{v_1^2 + v_2^2} \]

Résumé

• Les bases permettent d'exprimer tous les vecteurs d'un espace.
• La multiplication par un réel change la norme du vecteur.
• Le produit scalaire sert à mesurer l'angle et la perpendicularité des vecteurs.