Introduction

Les calculs vectoriels permettent d'effectuer des opérations sur des vecteurs, qui sont des quantités combinant une magnitude et une direction, en géométrie. Ces opérations sont fondamentales pour étudier des figures, des déplacements, ou encore des forces.

1. Vecteur entre deux points

Soient deux points A(x₁, y₁) et B(x₂, y₂). Le vecteur \(\vec{AB}\) est défini par :

− La différence de coordonnées :

\(\vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)\)

Ce vecteur indique comment se rendre de A à B en déplacement.

2. Somme de vecteurs

Pour deux vecteurs \(\vec{u} = (u_x, u_y)\) et \(\vec{v} = (v_x, v_y)\), leur somme est :

− \(\vec{u} + \vec{v} = (u_x + v_x, u_y + v_y)\)

Cela correspond à effectuer un déplacement selon \(\vec{u}\), puis selon \(\vec{v}\).

3. Calcul du module (longueur) d’un vecteur

Le module (ou norme) de \(\vec{u} = (u_x, u_y)\) est :

− \(|\vec{u}| = \sqrt{u_x^2 + u_y^2}\)

Il mesure la distance entre le point d’origine et le point d’arrivée du vecteur.

4. Produit scalaire

Le produit scalaire de \(\vec{u} = (u_x, u_y)\) et \(\vec{v} = (v_x, v_y)\) est :

− \(\vec{u} \cdot \vec{v} = u_x v_x + u_y v_y\)

Il permet de déterminer si deux vecteurs sont perpendiculaires (si leur produit scalaire est nul).

5. Vérification de la perpendicularité

Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont perpendiculaires si :

− \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\)

Exemple : \(\vec{u} = (3, 4)\) et \(\vec{v} = (-4, 3)\), vérifions :

\[\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times (-4) + 4 \times 3 = -12 + 12 = 0\]

Ils sont perpendiculaires.