Géométrie vectorielle : Calculs vectoriels

1. Introduction

Les vecteurs sont des outils importants en géométrie. On peut les voir comme des flèches ayant une direction, une longueur (norme) et un point de départ et d'arrivée. Pour faire simple, imaginez une flèche qui indique une direction et une distance.

2. Addition de vecteurs

Pour additionner deux vecteurs \(ec{u}\) et \(ec{v}\), on réalise la "règle du tapis roulant" : placer \(ec{v}\) à partir de la terminaison de \(ec{u}\). Le vecteur somme \(ec{u} + ec{v}\) est le vecteur allant du départ de \(ec{u}\) à l'arrivée de \(ec{v}\).

1. Si \(ec{u}=(x_1, y_1)\) et \(ec{v}=(x_2, y_2)\), alors : \[ ec{u} + ec{v} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2) \]

3. Soustraction de vecteurs

Soustraire un vecteur \(ec{v}\) de \(ec{u}\) revient à additionner \(ec{u}\) avec le vecteur opposé à \(ec{v}\), noté \(-ec{v}\). Par exemple, si \(ec{v}=(x_2, y_2)\), alors : \[ -ec{v} = (-x_2, -y_2) \]

4. Multiplication par un scalaire

Multiplier un vecteur \(ec{u}=(x, y)\) par un nombre \(k\) (un scalaire), c’est le faire changer de longueur tout en conservant sa direction si \(k>0\). Le résultat est : \[ kec{u} = (kx, ky) \]

5. Exemple d'application

Supposons que :

1. \(ec{u} = (3, 2)\)
2. \(ec{v} = (-1, 4)\)
3. On veut calculer \(ec{w} = 2ec{u} - ec{v}\).

Calculons étape par étape :

2ec{u} = (2 	imes 3, 2 	imes 2) = (6, 4)

-ec{v} = -(-1, 4) = (1, -4)

Et donc :
\[
ec{w} = (6, 4) + (1, -4) = (6 + 1, 4 - 4) = (7, 0)
\]

Le vecteur \(ec{w}\) est donc (7, 0).

6. Conclusion

Les calculs vectoriels permettent de manipuler facilement des directions et des distances pour résoudre des problèmes géométriques. La pratique consiste à apprendre les règles d'addition, de soustraction et de multiplication par un nombre.