Géométrie vectorielle en classe de 2nde

Ce cours présente les notions de bases vectorielles, le produit scalaire et la multiplication par un réel, essentiels en géométrie vectorielle.

1. Bases vectorielles

Une base d’un espace vectoriel est un ensemble de vecteurs linéairement indépendants qui permet de représenter tout vecteur de cet espace.

Exemple en R²

Les vecteurs \(\vec{i} = (1, 0)\) et \(\vec{j} = (0, 1)\) forment une base usuelles. Tout vecteur \(\vec{v} = (x, y)\) peut s’écrire :

\[\vec{v} = x \times \vec{i} + y \times \vec{j}\]

2. Produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs \(\vec{u} = (u_1, u_2)\) et \(\vec{v} = (v_1, v_2)\) est défini par :

\[\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2\]

Ce produit est un nombre réel (scalaire) qui vérifie :

• Symétrie : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}\)
• Linéarité : \(\forall \lambda, \mu \in \mathbb{R}\), \(\left(\lambda \vec{u} + \mu \vec{v}\right) \cdot \vec{w} = \lambda (\vec{u} \cdot \vec{w}) + \mu (\vec{v} \cdot \vec{w})\)
• Positivité : \(\vec{v} \cdot \vec{v} \geq 0\), avec égalité si et seulement si \(\vec{v} = \vec{0}\)

Utilité du produit scalaire :

Il permet de définir l’angle entre deux vecteurs :

\[\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|}\]

3. Multiplication par un réel

Multiplier un vecteur \(\vec{v} = (x, y)\) par un réel \(\lambda\) donne :

\[\lambda \times \vec{v} = (\lambda x, \lambda y)\]

Cela modifie la norme du vecteur :

\[\|\lambda \times \vec{v}\| = |\lambda| \times \|\vec{v}\|\]

Cette opération permet d’adapter la longueur du vecteur sans changer sa direction (si \(\lambda > 0\)) ou de l’inverser (si \(\lambda < 0\)).

Résumé

• Une base vectorielle permet de représenter tous les vecteurs d’un espace.
• Le produit scalaire permet de mesurer l’angle ou la longueur relative de deux vecteurs.
• Multiplier un vecteur par un réel change sa longueur, en conservant ou inversant sa direction.