Introduction

Les vecteurs sont des objets mathématiques utilisés pour représenter des grandeurs ayant une direction et une norme. Ils sont essentiels en géométrie et en physique.

Définition d’un vecteur

Un vecteur \(ec{u}\) est défini par ses coordonnées dans un repère \(A(x_A, y_A)\) par exemple. On note :

  \(ec{u} = (u_x, u_y)\)

qui représentent ses composantes selon les axes \(Ox\) et \(Oy\).

Opérations vectorielles

Addition de vecteurs

Pour deux vecteurs \(ec{u} = (u_x, u_y)\) et \(ec{v} = (v_x, v_y)\), leur somme est :

  \(ec{u} + ec{v} = (u_x + v_x, u_y + v_y)\)

Soustraction de vecteurs

La différence :

  \(ec{u} - ec{v} = (u_x - v_x, u_y - v_y)\)

Multiplication par un scalaire

Pour un réel \(k\), :

  \(k 	imes ec{u} = (k u_x, k u_y)\)

Produits associés aux vecteurs

Produit scalaire

Le produit scalaire de \(ec{u} = (u_x, u_y)\) et \(ec{v} = (v_x, v_y)\) est défini par :

  \(ec{u} \cdot ec{v} = u_x v_x + u_y v_y\)

Ce produit donne une valeur scalaire et permet de déterminer l’angle entre deux vecteurs :

  \(ec{u} \cdot ec{v} = |ec{u}| |ec{v}| \cos 	heta\)

Produit vectoriel (en 2D)

En dimension 2, le produit vectoriel entre \(ec{u}\) et \(ec{v}\) est une quantité scalaire donnée par :

  \(	ext{prod}_{	ext{vec}}(ec{u}, ec{v}) = u_x v_y - u_y v_x\)

Ce résultat est lié à l’aire du paralélogramme formé par les vecteurs.

Résumé

• Les vecteurs sont représentés par leurs composantes.
• Les opérations fondamentales : addition, soustraction et multiplication par un scalaire.
• Les produits scalaire et vectoriel permettent d’étudier les angles et aires associés aux vecteurs.