1. Définition d'un vecteur

Un vecteur est un objet géométrique qui possède une direction, un sens et une longueur (ou norme). Il se symbolise généralement par une flèche ou une lettre en gras, par exemple →u.

Dans le plan ou l'espace, un vecteur peut être représenté par ses coordonnées. Par exemple, dans \(\mathbb{R}^2\), un vecteur \(ec{u}\) peut être écrit comme :

  \(ec{u} = (u_x, u_y)\)

où \(u_x\) et \(u_y\) sont ses composantes selon les axes x et y.

2. Opérations sur les vecteurs

2.1. La somme de vecteurs

La somme de deux vecteurs \(ec{u} = (u_x, u_y)\) et \(ec{v} = (v_x, v_y)\) est donnée par :

  \[ec{u} + ec{v} = (u_x + v_x, u_y + v_y)\]

Géométriquement, la somme correspond à la méthode du « parcours à la chaîne » ou du « glissement » des vecteurs.

2.2. La soustraction de vecteurs

La soustraction se définit comme :

  \[ec{u} - ec{v} = (u_x - v_x, u_y - v_y)\]

2.3. La multiplication par un scalaire

Multiplier un vecteur \(ec{u} = (u_x, u_y)\) par un nombre réel \(\lambda\) donne :

  \[\lambda 	imes ec{u} = (\lambda u_x, \lambda u_y)\]

Cela modifie la longueur du vecteur sans changer sa direction (sauf si \(\lambda < 0\), alors le sens s’inverse).

3. Remarques importantes

• Les vecteurs sont souvent utilisés pour représenter des déplacements ou des forces.
• La norme (ou longueur) du vecteur \(ec{u} = (u_x, u_y)\) s'exprime par :

  \[\|ec{u}\| = \sqrt{u_x^2 + u_y^2}\]

• Les opérations sur les vecteurs respectent des propriétés telles que la commutativité de la somme (\(ec{u} + ec{v} = ec{v} + ec{u}\)) et l’associativité.