1. Introduction

En géométrie vectorielle, les produits scalaires et produits vectoriels permettent de répondre à des questions sur les angles, longueurs et orthogonalités. Ce cours présente leur définition, leurs propriétés et leur utilisation.

2. Produit scalaire

2.1 Définition

Le produit scalaire de deux vecteurs \(ec{u}\) et \(ec{v}\), noté \(ec{u} \cdot ec{v}\), est un nombre réel défini par :

\[ oxed{ ec{u} \cdot ec{v} = |ec{u}| imes |ec{v}| imes \cos heta } \]

où \( |ec{u}| \) et \( |ec{v}| \) sont les longueurs des vecteurs, et \( heta \) est l'angle entre eux.

2.2 Propriétés

• Commutativité : \(ec{u} \cdot ec{v} = ec{v} \cdot ec{u}\)
• Distributivité : \(ec{u} \cdot (ec{v} + ec{w}) = ec{u} \cdot ec{v} + ec{u} \cdot ec{w}\)
• Produit scalaire du vecteur par lui-même : \(ec{u} \cdot ec{u} = |ec{u}|^2\)

2.3 Utilisation

Pour calculer l'angle entre deux vecteurs :

\[ \cos heta = rac{ec{u} \cdot ec{v}}{|ec{u}| |ec{v}|} \]

Et pour vérifier l'orthogonalité :

\( ec{u} \) est orthogonal à \( ec{v} \) si et seulement si \( ec{u} \cdot ec{v} = 0 \).

3. Produit vectoriel

3.1 Définition

Le produit vectoriel de deux vecteurs \(ec{u}\) et \(ec{v}\), noté \(ec{u} imes ec{v}\), est un vecteur perpendiculaire aux deux premiers, dont la norme est donnée par :

\[ |ec{u} imes ec{v}| = |ec{u}| |ec{v}| \sin heta \]

où \( heta \) est l'angle entre \(ec{u}\) et \(ec{v}\).

3.2 Propriétés

• Anticommutativité : \(ec{u} imes ec{v} = - (ec{v} imes ec{u})\)
• Distributivité : \(ec{u} imes (ec{v} + ec{w}) = ec{u} imes ec{v} + ec{u} imes ec{w}\)
• Produit vectoriel du vecteur avec lui-même : \(ec{u} imes ec{u} = ec{0}\)

3.3 Calcul et propriétés

Le produit vectoriel peut se calculer à partir des composantes :

\[ ec{u} = (u_1, u_2, u_3), \quad ec{v} = (v_1, v_2, v_3) \]

\[ ec{u} imes ec{v} = (u_2 v_3 - u_3 v_2, \; u_3 v_1 - u_1 v_3, \; u_1 v_2 - u_2 v_1) \]

Ce vecteur est orthogonal à \(ec{u}\) et \(ec{v}\), et sa norme donne la surface du parallélogramme formé par \(ec{u}\) et \(ec{v}\).

3.4 Utilisation

Le produit vectoriel permet de déterminer un vecteur perpendiculaire à deux vecteurs, utile pour :

• Calculer des normals à une surface
• Déterminer le sens d'une surface