Géométrie vectorielle : Translations, symétries, homothéties et théorème de Thalès

1. La translation

Une translation est un déplacement du plan qui déplace tous les points d’un même vecteur. Si on note \( ec{u} \), alors la translation \( t_{ ec{u} } \) transforme un point \( A \) en un point \( A' \) tel que :

\( \overrightarrow{AA'} = ec{u} \)

Les propriétés principales :

• La distance entre deux points ne change pas.
• Les figures sont congruentes après translation.

2. La symétrie ( réflexion )

La symétrie par rapport à une droite (axe de symétrie) transforme chaque point \( A \) en un point \( A' \) tel que :

\( \overrightarrow{AA'} \) est perpendiculaire à la droite de symétrie, et \( A \) et \( A' \) sont du même côté ou de côtés opposés symétriques.

Si la droite de symétrie est \( d \), alors :

• \( A' \) est l’image de \( A \) par la réflexion par rapport à \( d \).
• La longueur \( \overline{AA'} \) est perpendiculaire à \( d \).

3. L'homothétie

L’homothétie de centre \( O \) et d’ rapport \( k \) transforme un point \( A \) en un point \( A' \) tel que :

\( \overrightarrow{OA'} = k imes \overrightarrow{OA} \)

Propriétés :

• Si \( k > 1 \), l’image est un agrandissement.
• Si \( 0 < k < 1 \), l’image est une réduction.
• Le centre \( O \) reste invariant.

4. Le théorème de Thalès

Ce théorème permet de déterminer la proportionnalité de segments situés sur des droites parallèles.

Si deux droites \( (d) \) et \( (d') \) sont parallèles, et si on considère trois points \( A, B \) sur \( (d) \) et \( A', B' \) sur \( (d') \), tels que :

• Les segments \( [AB] \) et \( [A'B'] \) sont homologues.
• Les points \( C \) et \( C' \) sont alignés avec \( A, B \) et \( A', B' \) respectivement sur des droites parallèles.

Le théorème affirme que :

\( \dfrac{AC}{CB} = \dfrac{A'C'}{C'B'} \)

Ce rapport permet de résoudre des problèmes de proportion dans le plan.

Résumé

Les transformations géométriques telles que la translation, la symétrie et l’homothétie permettent de déplacer ou de modifier des figures en conservant ou en changeant certaines propriétés. Le théorème de Thalès est un outil fondamental pour étudier les proportions dans les figures dessinées.