Géométrie vectorielle : translations, symétries, homothéties et théorème de Thalès

Apprendre comment déplacer des figures, les refléter et les agrandir ou réduire, puis relier ces idées au théorème de Thalès pour comparer des longueurs sur des triangles similaires.

Objectifs

Décrire et utiliser une translation d\'un vecteur sur le plan.
Comprendre et identifier une symétrie axiale et une symétrie centrale.
Réaliser une homothétie avec un centre et un facteur de traçage.
Appliquer le théorème de Thalès pour comparer des longueurs dans des triangles similaires.
Mettre en relation les notions avec des problématiques de coordonnées et de vecteurs.

Notions clés

Une translation est une transformation qui déplace chaque point P du plan selon un vecteur v : \( \vec{v} = (a,b) \) et \(P' = P + \vec{v}\). En coordonnées, si \(P=(x,y)\) alors \[ T_{\vec{v}}(P) = P' = (x+a,\, y+b) \). Pour une image minimale en forme d\'égalité vectorielle: \[ T_{\vec{v}}(P) = P' = (x+a, y+b) \]

Symétrie axiale (par rapport à une droite l) : la droite l est l\'axe de symétrie et chaque point P se transforme en P' tel que l\'axe l est le milieu du segment \(PP'\) et l\\'angle \(PP'\) est perpendiculaire à l\'axe. Mathématiquement on peut écrire: si \(l\) est décrite par \(ax+by+c=0\), alors la symétrie de \(P=(x,y)\) donne \(P'=(x',y')\) avec \[ x' = x - \frac{2a(ax+by+c)}{a^2+b^2}, \\; y' = y - \frac{2b(ax+by+c)}{a^2+b^2} \]

Symétrie centrale par rapport au point O: pour tout P, l\'image P' est telle que \(\vec{OP'} = -\vec{OP}\). En coordonnées, si \(O=(x_0,y_0)\) et \(P=(x,y)\), alors \(P'=(2x_0-x,\ 2y_0-y)\).

Homothétie de centre O et de rapport k : pour tout P, P\' est tel que \(\overrightarrow{OP'} = k\overrightarrow{OP}\). En coordonnées, si \(O=(x_0,y_0)\) et \(P=(x,y)\), alors \(P'=(x_0 + k(x-x_0),\ y_0 + k(y-y_0))\).

Théorème de Thalès : dans le triangle \(ABC\), si une droite \(d\) passe par \(AB\) en D et \(AC\) en E et est parallèle à \(BC\), alors \[ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \] et de plus \[ \frac{BD}{DC} = \frac{BE}{EC} \].

Exemples résolus (translations, Thalès)

Étape 1: on définit le vecteur de translation \(\vec{v}= (4,-1)\).

Étape 2: on applique la translation au point donné \(P=(2,3)\): \(P'=(2+4,\,3-1)=(6,2)\).

Étape 3: on vérifie que les longueurs et les directions cohérent avec la figure translatée.

Voir la solution

Résolution complète: On prend le vecteur de translation \(\vec{v}= (4,-1)\). Pour tout point \(P=(x,y)\) on obtient \(P'=(x+4,\ y-1)\). Ainsi, pour \(P=(2,3)\) on obtient \(P'=(6,2)\).

Dans un autre exemple, si l\'on cherche l\'image de \(A(1,2)\) par une translation de vecteur \(\vec{v}= (-2,5)\), alors \(A'=(1-2, 2+5)=( -1,7)\).

Erreurs fréquentes

Astuce: vérifier que les vecteurs utilisés pour les translations ne modifient pas l\'orientation de la figure et que les angles restent inchangés.

Question rapide: Quelle transformation conserve les distances et les angles mais peut changer la position d\'une figure?

Translation
Rotation
Agrandissement

Réponse correcte: 1. La translation conserve les dimensions et les formes, elle déplace tout sans tourner.

Récapitulatif court

Translations: déplacement pur selon un vecteur \(\vec{v}= (a,b)\) : \(P'=(x+a,\ y+b)\).
Symétries: réflexion par rapport à une droite (axiale) ou par rapport à un point (centrale).
Homothéties: agrandissement/réduction avec centre O et rapport k: \(P'=(x_0 + k(x-x_0), y_0 + k(y-y_0))\).
Thalès: dans un triangle, une droite parallèle à un côté établit des rapports proportionnels entre les segments sur les deux autres côtés.

Cartes mémo (3 à 6 notions clés)

Translation

Déplacement sans rotation; \(P' = P + \vec{v}\)

Symétrie axiale

Réflexion par rapport à une droite; image miroir

Symétrie centrale

Reflection par rapport à un point; \(\vec{OP'} = -\vec{OP}\)

Homothétie

Géométrie d\'agrandissement/rétrécissement autour d\'un centre; \(P' = O + k(P - O)\)

Thalès

Rapports proportionnels quand une ligne est parallèle à un côté du triangle

Schéma : translations et triangles

Graphique interactif (conceptuel)

Références rapides

Pour réviser, associez chaque notion à son usage: translation (déplacement), symétrie (image miroir), homothétie (agrandissement/rétrécissement), Thalès (proportions dans un triangle).