Histogrammes, moyenne, écart-type

Quand on répète une mesure, on n'obtient jamais exactement la même valeur : l'histogramme montre comment les résultats se répartissent, la moyenne donne la meilleure estimation et l'écart-type mesure à quel point les résultats sont dispersés.

Objectifs

Comprendre pourquoi des mesures répétées varient.
Construire et lire un histogramme d'une série de mesures.
Calculer la moyenne et l'écart-type d'une série, et interpréter l'écart-type comme une mesure de dispersion.

1. La variabilité de la mesure

Une grandeur mesurée plusieurs fois, dans les mêmes conditions, donne une série de valeurs légèrement différentes. Cette variabilité vient de l'opérateur (réflexes, lecture), de l'instrument et des conditions de l'expérience. On ne peut donc pas connaître la « vraie » valeur exactement : on cherche la meilleure estimation et on évalue la dispersion.

Dix élèves mesurent la même durée et trouvent des valeurs un peu différentes. Pourquoi ?

Au moins neuf élèves se sont trompés
Toute mesure répétée présente une variabilité
La durée change à chaque fois

Même sans erreur grossière, les réflexes, l'instrument et les conditions font varier légèrement le résultat : c'est la variabilité de la mesure.

2. L'histogramme

Un histogramme est un diagramme en barres : en abscisse, les valeurs (ou intervalles de valeurs) mesurées ; en ordonnée, l'effectif, c'est-à-dire le nombre de fois où chaque valeur a été obtenue.

Série des dix élèves (période \(T\) en secondes) : 1,42 ; 1,45 ; 1,40 ; 1,43 ; 1,44 ; 1,41 ; 1,43 ; 1,42 ; 1,46 ; 1,44.

Les valeurs se regroupent autour de 1,43 s ; les valeurs extrêmes (1,40 s et 1,46 s) sont rares. Plus l'histogramme est étroit, plus les mesures sont resserrées.

Sur l'histogramme, combien d'élèves ont trouvé 1,44 s ?

La barre au-dessus de 1,44 s atteint l'effectif 2 : deux élèves ont trouvé cette valeur.

3. La moyenne

Pour une série de \(n\) mesures \(x_1, x_2, \ldots, x_n\), la valeur moyenne est :

\[ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i \]

C'est la meilleure estimation de la valeur de la grandeur mesurée.

4. L'écart-type

L'écart-type expérimental \(s\) mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne :

\[ s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} \left(x_i - \bar{x}\right)^2} \]

Il a la même unité que les mesures. Plus \(s\) est petit, plus les mesures sont proches les unes des autres. En pratique, on le calcule avec la calculatrice (mode statistiques, notation \(s_x\) ou \(\sigma_{n-1}\)) ou un tableur.

Déplace les curseurs : la courbe représente l'allure d'un histogramme obtenu avec beaucoup de mesures, centré sur la moyenne \(m\), avec un écart-type \(s\).

Ce qu'il fallait observer

Changer \(m\) déplace la courbe sans changer sa forme ; augmenter \(s\) l'élargit : les mesures sont plus dispersées. Avec un petit \(s\), la courbe est haute et étroite.

Exemple résolu

Calculer la moyenne et l'écart-type de la série des dix périodes. Cherche d'abord, puis dévoile les étapes.

Somme des valeurs : \(14{,}30\ \text{s}\), donc \(\bar{T} = \dfrac{14{,}30}{10} = 1{,}43\ \text{s}\).

Écarts à la moyenne \(T_i - \bar{T}\) : \(-0{,}01\) ; \(0{,}02\) ; \(-0{,}03\) ; \(0\) ; \(0{,}01\) ; \(-0{,}02\) ; \(0\) ; \(-0{,}01\) ; \(0{,}03\) ; \(0{,}01\) (en s).

Somme des carrés des écarts : \[ 0{,}0001 + 0{,}0004 + 0{,}0009 + 0 + 0{,}0001 + 0{,}0004 + 0 + 0{,}0001 + 0{,}0009 + 0{,}0001 = 0{,}0030\ \text{s}^2 \]

\[ s = \sqrt{\frac{0{,}0030}{10-1}} \approx 0{,}018\ \text{s} \]

Conclusion : la période vaut en moyenne \(1{,}43\ \text{s}\), et les mesures s'écartent typiquement d'environ \(0{,}02\ \text{s}\) de cette moyenne.

Série : \(10\) ; \(12\) ; \(14\) (en cm). Quel est l'écart-type expérimental \(s\) ?

\(12\ \text{cm}\)
\(4\ \text{cm}\)
\(2\ \text{cm}\)

\(\bar{x} = 12\) ; somme des carrés des écarts \(4 + 0 + 4 = 8\) ; \(s = \sqrt{8/2} = \sqrt{4} = 2\ \text{cm}\).

Le groupe A obtient \(s = 0{,}05\ \text{s}\), le groupe B \(s = 0{,}01\ \text{s}\) pour la même mesure. Que peut-on dire ?

Le groupe A a des mesures plus resserrées
Le groupe B a des mesures plus resserrées
Les deux groupes ont la même moyenne

Un écart-type plus petit signifie une dispersion plus faible : les mesures du groupe B sont plus resserrées. L'écart-type ne dit rien sur la moyenne.

Erreurs fréquentes

Récapitulatif

flowchart LR
A[Serie de mesures] --> B[Histogramme]
A --> C[Moyenne]
A --> D[Ecart type]
B --> E[Repartition des valeurs]
C --> F[Meilleure estimation]
D --> G[Dispersion des valeurs]

Des mesures répétées varient. L'histogramme montre leur répartition, la moyenne \(\bar{x}\) donne la meilleure estimation de la grandeur, et l'écart-type \(s\) mesure la dispersion des résultats autour de la moyenne.

Variabilité

Des mesures répétées d'une même grandeur donnent des valeurs différentes.

Histogramme

Barres : valeurs en abscisse, effectifs en ordonnée.

Moyenne

\(\bar{x} = \frac{1}{n}\sum x_i\) : meilleure estimation de la valeur.

Écart-type

\(s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum (x_i - \bar{x})^2}\) : mesure de la dispersion.