Horner, division euclidienne, identification : trois méthodes comparées

Quand \(P(\alpha)=0\), on sait que \(x-\alpha\) divise \(P(x)\) ; on trouve alors le quotient par Horner, par division euclidienne ou par identification, et on s'entraîne à choisir la méthode la plus rapide.

Objectifs

Montrer qu'un nombre est racine d'un polynôme et trouver une racine évidente.
Obtenir le quotient de \(P(x)\) par \(x-\alpha\) avec les trois méthodes, sur le même polynôme, et comparer.
Éviter les erreurs classiques : coefficient nul oublié, signe de \(\alpha\), reste mal interprété.
Factoriser complètement un polynôme de degré 3 sur des exercices progressifs.

Notions clés

1. Montrer qu'un nombre est racine

Polynôme fil rouge. \(P(x)=x^3-4x^2+x+6\). On teste \(2\) : \[P(2)=8-16+2+6=0.\] Donc \(2\) est racine et \(P(x)=(x-2)\,Q(x)\) avec \(Q\) de degré 2.

Pour \(P(x)=x^3-4x^2+x+6\), quelle valeur est aussi racine ?

\(1\)
\(-1\)
\(-2\)

\(P(-1)=-1-4-1+6=0\). En revanche \(P(1)=1-4+1+6=4\) et \(P(-2)=-8-16-2+6=-20\).

2. Les trois méthodes sur le même polynôme

Méthode A : le tableau de Horner

On écrit les coefficients de \(P\) dans l'ordre des puissances décroissantes, sans en oublier : \(1\), \(-4\), \(1\), \(6\). On abaisse le premier, puis on répète : multiplier par \(\alpha=2\), ajouter au coefficient suivant.

	\(x^3\)	\(x^2\)	\(x\)	constante
coefficients	\(1\)	\(-4\)	\(1\)	\(6\)
\(\times 2\)		\(2\)	\(-4\)	\(-6\)
somme	\(1\)	\(-2\)	\(-3\)	\(0\)

La dernière case (\(0\)) est le reste ; les autres donnent le quotient : \(Q(x)=x^2-2x-3\).

Méthode B : la division euclidienne posée

\(x^3\div x=x^2\). On retire \(x^2(x-2)=x^3-2x^2\) : il reste \(-2x^2+x+6\).

\(-2x^2\div x=-2x\). On retire \(-2x(x-2)=-2x^2+4x\) : il reste \(-3x+6\).

\(-3x\div x=-3\). On retire \(-3(x-2)=-3x+6\) : il reste \(0\).

Quotient \(x^2-2x-3\), reste \(0\) : même résultat qu'avec Horner.

Méthode C : l'identification

On pose \(P(x)=(x-2)(ax^2+bx+c)=ax^3+(b-2a)x^2+(c-2b)x-2c\).

On identifie : \[\begin{cases} a=1\\ b-2a=-4\\ c-2b=1\\ -2c=6\end{cases}\qquad\text{donc}\qquad a=1,\ b=-2,\ c=-3.\]

Contrôle : \(c-2b=-3+4=1\). On retrouve \(Q(x)=x^2-2x-3\).

Fin de la factorisation. \(Q(-1)=1+2-3=0\), donc \(Q(x)=(x+1)(x-3)\) et \[P(x)=(x-2)(x+1)(x-3).\]

flowchart TD
A[Trouver une racine alpha] --> B[Diviseur de la forme x moins alpha]
B -->|oui| C[Horner le plus rapide]
B -->|non| D[Division euclidienne]
A --> E[Identification toujours possible]
C --> F[Quotient Q]
D --> F
E --> F
F --> G[Factoriser Q a son tour]

Dans un tableau de Horner pour diviser par \(x-\alpha\), que représente la dernière case de la ligne « somme » ?

Le reste, égal à \(P(\alpha)\)
Le terme constant du quotient
Le coefficient dominant du quotient

La dernière case donne le reste de la division, qui vaut toujours \(P(\alpha)\) ; il est nul exactement quand \(\alpha\) est racine.

Exemples résolus : exercices progressifs

Exercice 1 : un coefficient manquant

Énoncé. \(P(x)=2x^3-5x+3\). Montrer que \(1\) est racine, puis factoriser \(P(x)\) avec Horner. Cherche d'abord.

Somme des coefficients : \(2-5+3=0\), donc \(P(1)=0\) et \(1\) est racine.

Il n'y a pas de terme en \(x^2\) : on écrit son coefficient \(0\). Coefficients : \(2\), \(0\), \(-5\), \(3\).

Horner avec \(\alpha=1\) : on abaisse \(2\) ; \(0+2=2\) ; \(-5+2=-3\) ; \(3-3=0\). Quotient \(Q(x)=2x^2+2x-3\), reste \(0\).

\(\Delta=4+24=28\), donc \(\sqrt{\Delta}=2\sqrt7\) et les racines de \(Q\) sont \(\frac{-1-\sqrt7}{2}\) et \(\frac{-1+\sqrt7}{2}\).

Conclusion : \[P(x)=2(x-1)\left(x-\frac{-1-\sqrt7}{2}\right)\left(x-\frac{-1+\sqrt7}{2}\right).\]

Exercice 2 : diviser par \(x+3\)

Énoncé. \(P(x)=x^3+x^2-9x-9\). Montrer que \(-3\) est racine et factoriser.

Voir la solution

\(P(-3)=-27+9+27-9=0\). Attention : diviser par \(x+3\), c'est diviser par \(x-(-3)\), donc on utilise \(\alpha=-3\) dans Horner.

Coefficients \(1\), \(1\), \(-9\), \(-9\) : on abaisse \(1\) ; \(1+(-3)=-2\) ; \(-9+6=-3\) ; \(-9+9=0\). Quotient \(x^2-2x-3=(x+1)(x-3)\).

\[P(x)=(x+3)(x+1)(x-3).\]

Autre méthode rapide : \(P(x)=x^2(x+1)-9(x+1)=(x+1)(x^2-9)\). Même résultat.

Exercice 3 : un reste non nul

Énoncé. Trouver le reste de la division de \(R(x)=x^3+2x^2-5\) par \(x+2\), sans poser la division. \(-2\) est-il racine ?

Voir la solution

Le reste est \(R(-2)=-8+8-5=-5\). Il n'est pas nul : \(-2\) n'est pas racine de \(R\), et \(x+2\) ne divise pas \(R(x)\).

Exercice 4 (défi) : trouver un paramètre

Énoncé. Déterminer le réel \(m\) pour que \(2\) soit racine de \(P(x)=x^3+mx^2-4x+4\), puis factoriser.

\(P(2)=8+4m-8+4=4m+4\). On veut \(4m+4=0\), donc \(m=-1\).

\(P(x)=x^3-x^2-4x+4\). Horner avec \(2\) : coefficients \(1\), \(-1\), \(-4\), \(4\) ; on abaisse \(1\) ; \(-1+2=1\) ; \(-4+2=-2\) ; \(4-4=0\).

Quotient \(x^2+x-2=(x-1)(x+2)\), donc \[P(x)=(x-2)(x-1)(x+2).\]

Pour diviser \(x^3+x^2-9x-9\) par \(x+3\) avec Horner, quelle valeur de \(\alpha\) utilise-t-on ?

\(3\)
\(9\)
\(-3\)

\(x+3=x-(-3)\), donc \(\alpha=-3\). Utiliser \(3\) est l'erreur de signe la plus fréquente.

Erreurs fréquentes

Le tableau de Horner de \(P(x)\) par \(x-1\) se termine par la case \(4\). Que peut-on conclure ?

\(1\) est racine de \(P\)
\(P(1)=4\), donc \(1\) n'est pas racine
\(4\) est racine de \(P\)

La dernière case est le reste, égal à \(P(1)\). Il vaut \(4\neq0\), donc \(1\) n'est pas racine.

Récapitulatif

\(\alpha\) est racine de \(P\) si \(P(\alpha)=0\) ; alors \(P(x)=(x-\alpha)Q(x)\).
Le reste de la division de \(P(x)\) par \(x-\alpha\) est \(P(\alpha)\).
Horner, division euclidienne et identification donnent le même quotient ; Horner est le plus rapide pour \(x-\alpha\).
On finit la factorisation en étudiant le quotient (discriminant ou nouvelle racine évidente).

Racine d'un polynôme

Un réel \(\alpha\) tel que \(P(\alpha)=0\).

Factorisation par une racine

\(P(\alpha)=0\iff P(x)=(x-\alpha)Q(x)\).

Tableau de Horner

Abaisser, multiplier par \(\alpha\), ajouter ; la dernière case est le reste.

Reste par \(x-\alpha\)

Il vaut \(P(\alpha)\).

Racine évidente \(1\)

Quand la somme des coefficients est nulle.