Les identités remarquables

Les identités remarquables permettent de simplifier rapidement certains calculs en algèbre.

Objectifs

Comprendre ce que sont les identités remarquables.
Savoir les reconnaître et les utiliser pour développer ou factoriser des expressions.

Notions clés

Identité remarquable : une formule qui relie des produits de binômes ou de carrés en une expression simplifiée.
Carré d'une somme : \([ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \])
Carré d'une différence : \([ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \])
Produit de deux binômes conjugués : \([ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \])

Exemples résolus

1. Développer \( (x + 3)^2 \)

flowchart LR
  A[Démarrer]
  B[(Calcul : (x + 3)^2)]
  C[Utiliser la formule du carré d'une somme]
  D[Calcul : x^2 + 2*3*x + 3^2]
  E[Résultat : x^2 + 6x + 9]
  A --> B --> C --> D --> E

En utilisant l'identité \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \), on trouve que :

\[ (x + 3)^2 = x^2 + 2 \times x \times 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9 \]

2. Factoriser \( x^2 - 25 \)

Voir la solution

En identifiant une différence de deux carrés, on utilise l'identité \( a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \). Ici, \( x^2 - 25 \) devient \( (x)^2 - (5)^2 \), donc :

\[ x^2 - 25 = (x + 5)(x - 5) \]

Erreurs fréquentes

Confondre le carré d'une somme et le carré d'une différence.
Oublier de développer complètement une expression après utilisation d'une identité.
Ne pas vérifier si une expression est une différence de carrés ou un carré parfait.

Récapitulatif

Carré d'une somme

\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)

Carré d'une différence

\( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)

Produit conjugué

\( (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \)