Impulsions et collisions

Lors d'un choc entre deux corps qui forment un système isolé, la quantité de mouvement totale \(\vec{p} = m\vec{v}\) se conserve : ce que l'un perd, l'autre le gagne ; et une force \(F\) qui agit pendant une durée \(\Delta t\) change la quantité de mouvement de \(F \times \Delta t\).

Objectifs

Définir la quantité de mouvement \(\vec{p} = m\vec{v}\) d'un corps et son unité.
Comprendre l'impulsion : une force qui agit pendant une durée modifie la quantité de mouvement.
Savoir quand un système est isolé ou pseudo-isolé.
Utiliser la conservation de la quantité de mouvement pour calculer une vitesse après une collision.
Distinguer collision élastique et collision où les corps restent accrochés.

1. La quantité de mouvement

Définition

La quantité de mouvement d'un corps de masse \(m\) qui se déplace à la vitesse \(\vec{v}\) est le vecteur :

\[ \vec{p} = m\,\vec{v} \]

\(m\) en kilogrammes (kg), \(v\) en mètres par seconde (m/s), donc \(p\) en \(\text{kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-1}\).
\(\vec{p}\) a la même direction et le même sens que la vitesse \(\vec{v}\).
Sur un axe, on travaille avec des valeurs algébriques : \(p = m\,v\), positive si le corps va dans le sens de l'axe, négative s'il va en sens inverse.

Exemple résolu 1

Un ballon de football de masse \(0{,}45\ \text{kg}\) part à \(20\ \text{m/s}\). Un taxi-moto de masse totale \(200\ \text{kg}\) roule à \(0{,}05\ \text{m/s}\) (il avance tout doucement). Compare leurs quantités de mouvement.

Cherche d'abord, puis vois la solution

Ballon : \(p = m\,v = 0{,}45 \times 20 = 9\ \text{kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-1}\).

Taxi-moto : \(p = 200 \times 0{,}05 = 10\ \text{kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-1}\).

Conclusion : les deux valeurs sont proches ! Un corps léger mais rapide peut avoir autant de quantité de mouvement qu'un corps lourd mais lent.

Une bille de \(0{,}2\ \text{kg}\) roule à \(3\ \text{m/s}\) dans le sens négatif de l'axe. Quelle est sa quantité de mouvement \(p\) ?

\(0{,}6\ \text{kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-1}\)
\(-0{,}6\ \text{kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-1}\)
\(15\ \text{kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-1}\)

\(p = m\,v = 0{,}2 \times (-3) = -0{,}6\ \text{kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-1}\) : le signe moins indique que la bille va en sens inverse de l'axe.

2. L'impulsion : une force pendant une durée

Quand une force (supposée constante) de valeur \(F\) agit sur un corps pendant une durée \(\Delta t\), la quantité de mouvement varie de :

\[ \Delta p = p_{\text{après}} - p_{\text{avant}} = F \times \Delta t \]

Le produit \(F \times \Delta t\) s'appelle l'impulsion de la force. Elle s'exprime en \(\text{N} \cdot \text{s}\), ce qui est la même unité que \(\text{kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-1}\).

Exemple résolu 2

Lors d'un coup franc à Abidjan, le pied du joueur reste au contact du ballon (\(0{,}45\ \text{kg}\), immobile au départ) pendant \(\Delta t = 0{,}01\ \text{s}\). Le ballon part à \(20\ \text{m/s}\). Quelle force moyenne le pied a-t-il exercée ?

Cherche d'abord, puis vois la solution

Étape 1 : \(p_{\text{avant}} = 0\) (ballon immobile) et \(p_{\text{après}} = 0{,}45 \times 20 = 9\ \text{kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-1}\).

Étape 2 : \(\Delta p = 9 - 0 = 9\ \text{kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-1}\).

Étape 3 : \(F = \dfrac{\Delta p}{\Delta t} = \dfrac{9}{0{,}01} = 900\ \text{N}\).

Pourquoi saute-t-on dans le sable plutôt que sur le béton ?

Le sable diminue la vitesse à l'arrivée.
Le sable augmente la masse du sauteur.
Le sable allonge la durée du choc, donc la force subie est plus faible.

La variation \(\Delta p\) est la même (on passe de la vitesse d'arrivée à l'arrêt), mais \(\Delta t\) est plus long dans le sable, donc \(F = \dfrac{\Delta p}{\Delta t}\) est plus petite.

3. Système isolé et conservation de la quantité de mouvement

Système isolé ou pseudo-isolé

Un système est isolé s'il ne subit aucune force extérieure.
Il est pseudo-isolé si les forces extérieures se compensent (par exemple, sur une table horizontale sans frottement, le poids est compensé par la réaction de la table).
Pendant un choc très bref, on peut souvent considérer le système des deux corps comme pseudo-isolé.

La loi de conservation

Pour un système isolé ou pseudo-isolé de deux corps 1 et 2 :

\[ m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 = m_1\vec{v}_1\,' + m_2\vec{v}_2\,' \]

(les vitesses avec un prime \('\) sont celles après la collision). Autrement dit, \(\vec{p}_{\text{total avant}} = \vec{p}_{\text{total après}}\).

Avant le choc : le chariot A (2 kg) roule à 3 m/s vers le chariot B (1 kg) immobile. Quantité de mouvement totale : \(2 \times 3 + 1 \times 0 = 6\ \text{kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-1}\).

Après le choc : les chariots restent accrochés (3 kg). La quantité de mouvement totale reste égale à 6, donc leur vitesse commune vaut \(\dfrac{6}{3} = 2\ \text{m/s}\).

Joue avec le graphique : il donne la vitesse commune \(v'\) (en m/s) de deux chariots accrochés, en fonction de la masse \(x = m_2\) (en kg) du chariot B immobile, pour un chariot A de masse \(m_1\) lancé à la vitesse \(v_1\). Plus B est lourd, plus l'ensemble repart lentement.

Avec \(m_1 = 2\ \text{kg}\) et \(v_1 = 3\ \text{m/s}\), quelle est la vitesse commune si B a aussi une masse de \(2\ \text{kg}\) ?

\(1{,}5\ \text{m/s}\)
\(3\ \text{m/s}\)
\(6\ \text{m/s}\)

\(v' = \dfrac{2 \times 3}{2 + 2} = \dfrac{6}{4} = 1{,}5\ \text{m/s}\). Vérifie avec le curseur : pour \(x = 2\), la courbe passe par 1,5.

4. Résoudre un problème de collision

flowchart LR
  A[Choisir le systeme] --> B[Verifier isole ou pseudo isole]
  B --> C[Orienter un axe]
  C --> D[Calculer p total avant]
  D --> E[Ecrire p total apres]
  E --> F[Egaler et resoudre]

Exemple résolu 3 : deux billes qui se rencontrent

Sur un axe horizontal, une bille 1 (\(m_1 = 0{,}2\ \text{kg}\)) roule à \(+4\ \text{m/s}\) et une bille 2 (\(m_2 = 0{,}3\ \text{kg}\)) arrive en face à \(-2\ \text{m/s}\). Elles se collent l'une à l'autre. Quelle est leur vitesse commune ?

Cherche d'abord, puis vois la solution

Étape 1 : système des deux billes, pseudo-isolé pendant le choc ; axe orienté dans le sens du mouvement de la bille 1.

Étape 2 : \(p_{\text{avant}} = 0{,}2 \times 4 + 0{,}3 \times (-2) = 0{,}8 - 0{,}6 = 0{,}2\ \text{kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-1}\).

Étape 3 : \(p_{\text{après}} = (0{,}2 + 0{,}3)\,v' = 0{,}5\,v'\).

Étape 4 : \(0{,}5\,v' = 0{,}2\), donc \(v' = 0{,}4\ \text{m/s}\). Le signe + indique que l'ensemble part dans le sens initial de la bille 1.

Collision élastique et collision « molle »

Collision élastique : les corps rebondissent sans se déformer durablement (billes d'acier, boules de pétanque). La quantité de mouvement totale se conserve, et l'énergie cinétique totale aussi. Pour deux masses égales qui se heurtent de face, les vitesses s'échangent : c'est le carreau.
Collision où les corps restent accrochés (pâte à modeler, wagons qui s'attellent) : la quantité de mouvement totale se conserve, mais une partie de l'énergie cinétique est perdue (déformation, chaleur, bruit).

Dans l'exemple des chariots : avant, \(E_c = \dfrac{1}{2} \times 2 \times 3^2 = 9\ \text{J}\) ; après, \(E_c = \dfrac{1}{2} \times 3 \times 2^2 = 6\ \text{J}\). Il manque 3 J, transformés en déformation et en chaleur, alors que \(p\) est bien resté égal à 6.

Deux boules de pétanque de même masse. La boule A arrive à \(5\ \text{m/s}\) et frappe de face la boule B immobile (choc élastique, carreau parfait). Après le choc :

A et B partent ensemble à \(2{,}5\ \text{m/s}\).
A s'arrête et B part à \(5\ \text{m/s}\).
A recule à \(5\ \text{m/s}\) et B reste immobile.

Masses égales et choc élastique de face : les vitesses s'échangent. La quantité de mouvement totale \(m \times 5\) est conservée, et l'énergie cinétique aussi.

Erreurs fréquentes

Récapitulatif

Quantité de mouvement : \(\vec{p} = m\vec{v}\), en \(\text{kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-1}\).
Impulsion : \(\Delta p = F \times \Delta t\) ; un choc plus long donne une force plus faible.
Système isolé ou pseudo-isolé : \(\vec{p}_{\text{total avant}} = \vec{p}_{\text{total après}}\).
Corps accrochés : \(v' = \dfrac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}\).
Choc élastique : \(p\) et \(E_c\) se conservent ; choc avec accrochage : seul \(p\) se conserve.

Quantité de mouvement

\(\vec{p} = m\vec{v}\), en \(\text{kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-1}\).

Impulsion

\(F \times \Delta t = \Delta p\), en \(\text{N} \cdot \text{s}\).

Système pseudo-isolé

Système dont les forces extérieures se compensent.

Conservation

\(m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 = m_1\vec{v}_1\,' + m_2\vec{v}_2\,'\)

Corps accrochés

\(v' = \dfrac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}\)

Choc élastique

Conservation de \(p\) et de l'énergie cinétique ; masses égales de face : les vitesses s'échangent.