Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Introduction

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev est un résultat fondamental en probabilité, permettant d'estimer la probabilité que la valeur d'une variable aléatoire s'écarte de sa moyenne.

Énoncé de l'inégalité

Soit X une variable aléatoire de moyenne μ et de variance finie σ². Alors, pour tout k > 0:

P(|X - μ| ≥ k) ≤ rac{σ²}{k²}

Application à la loi des grands nombres

Considérons une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées avec moyenne μ et variance finie σ².

La loi des grands nombres indique que la moyenne empirique tend vers μ lorsque le nombre d'échantillons augmente.

Grâce à l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on peut quantifier cette convergence :

P(|&tilde{X}_n - μ| > ε) ≤ rac{σ²}{nε²}

où &tilde{X}_n est la moyenne empirique de n observations et ε > 0.

Conclusion

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev est un outil majeur pour estimer la proximité entre une moyenne empirique et la moyenne théorique dans le contexte de la loi des grands nombres.