Inégalité de Bienaymé-Tchebychev et loi des grands nombres

Introduction

En probabilités, la loi des grands nombres et la concentration statistique sont fondamentales pour comprendre comment une moyenne empirique se comporte quand la taille de l’échantillon augmente. L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet d’évaluer la probabilité qu’une variable aléatoire s’écarte de sa moyenne.

Variable aléatoire et espérance

Soit une variable aléatoire \(X\) à espérance \(E(X) = \mu\) et variance \(Var(X) = \sigma^2\). La moyenne empirique sur un échantillon de taille \(n\) est :

\[ ar{X}_n = rac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i \]

L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Elle donne une majoration pour la probabilité que la moyenne empirique s’écarte de l’espérance de plus qu’un certain niveau :

\[ P\left( |ar{X}_n - \mu| \geq arepsilon 
ight) \leq rac{\sigma^2}{n arepsilon^2} \]

pour tout \( arepsilon > 0 \).

Interprétation

• Plus la taille de l’échantillon \(n\) augmente, plus la probabilité que la moyenne empirique s’écarte de la véritable moyenne \(\mu\) diminue.
• Cette inégalité est une formulation quantitative qui justifie l’approche statistique par la loi des grands nombres.

Application à la loi des grands nombres

La loi des grands nombres faible stipule que :

\[ \lim_{n 	o \infty} ar{X}_n = \mu \quad 	ext{en probabilité} \]

Grâce à l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on montre que pour tout \(arepsilon > 0\), :

\[ P\left( |ar{X}_n - \mu| \geq arepsilon 
ight) \leq rac{\sigma^2}{n arepsilon^2} 	o 0 \quad 	ext{quand } n 	o \infty \]

Ce qui confirme que la moyenne empirique converge vers la moyenne réelle en probabilité.

Résumé

• L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet d’évaluer la concentration d’une moyenne empirique.
• Elle est essentielle pour justifier la loi des grands nombres.
• Plus l’échantillon est grand, plus la moyenne empirique est proche de la moyenne réelle, avec une probabilité qui tend vers 1.