Inégalités et encadrements

Une inégalité compare deux nombres comme une balance qui penche ; on la transforme avec des règles simples, on encadre un nombre pour l'estimer, et la valeur absolue mesure une distance sur la droite.

Objectifs

Utiliser les règles de calcul sur les inégalités (addition, multiplication par un nombre positif ou négatif).
Écrire un ensemble de solutions sous forme d'intervalle et résoudre une inéquation du premier degré.
Encadrer une somme, une différence, un produit ; donner une valeur approchée.
Interpréter \(|x-a|\) comme une distance et résoudre \(|x-a|\leq r\).

1. Règles sur les inégalités et intervalles

On ajoute 5 aux deux membres : \(3x\leq 12\).

On divise par 3, qui est positif : le sens ne change pas, \(x\leq 4\).

Ensemble des solutions : \(S=\,]-\infty;4]\).

Voir la solution

\[\begin{align} -2x+1&\gt 7\\ -2x&\gt 6\\ x&\lt -3 &&\text{on divise par }-2\text{ : le sens s'inverse} \end{align}\]

\(S=\,]-\infty;-3[\). Vérification avec \(x=-4\) : \(-2\times(-4)+1=9\gt 7\). Correct.

Quelles sont les solutions de \(-3x\leq 12\) ?

\(x\leq -4\)
\(x\geq -4\)
\(x\leq 4\)

On divise par \(-3\), négatif : le sens s'inverse, donc \(x\geq -4\).

Comment s'écrit \(-2\lt x\leq 6\) avec un intervalle ?

\([-2;6]\)
\([-2;6[\)
\(]-2;6]\)

\(-2\) est exclu (crochet ouvert), \(6\) est inclus (crochet fermé).

2. Encadrements et valeurs approchées

Somme : on additionne les bornes, \(3{,}14\lt\sqrt{2}+\sqrt{3}\lt 3{,}16\).

Produit (tout est positif) : \(1{,}41\times 1{,}73\lt\sqrt{2}\times\sqrt{3}\lt 1{,}42\times 1{,}74\).

Comme \(\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}\) : \(2{,}4393\lt\sqrt{6}\lt 2{,}4708\).

Voir la solution

Avec \(12\leq L\leq 13\) et \(7\leq \ell\leq 8\) :

\[\begin{align} 19&\leq L+\ell\leq 21 &&\text{donc } 38\leq 2(L+\ell)\leq 42\\ 84&\leq L\times\ell\leq 104 &&\text{aire en m}^2\\ 12-8=4&\leq L-\ell\leq 13-7=6 \end{align}\]

Si \(2\leq x\leq 3\) et \(1\leq y\leq 4\), quel est l'encadrement de \(x-y\) ?

\(-2\leq x-y\leq 2\)
\(1\leq x-y\leq -1\)
\(-1\leq x-y\leq 1\)

Bornes croisées : \(2-4=-2\) et \(3-1=2\).

3. Valeur absolue et distance

On place le centre : l'inégalité \(|x-3|\leq 2\) parle de la distance entre \(x\) et 3.

On se déplace d'au plus 2 unités de chaque côté du centre : jusqu'à 1 à gauche et jusqu'à 5 à droite.

Tous les nombres atteints forment l'intervalle fermé \([1;5]\) : c'est l'ensemble des solutions.

Avec le graphique, observe la courbe de \(y=|x-a|\) et la droite \(y=r\) : les solutions de \(|x-a|\leq r\) sont les \(x\) pour lesquels la courbe en V est sous la droite. Fais bouger \(a\) et \(r\).

On écrit \(x+1=x-(-1)\) : \(|x+1|\) est la distance entre \(x\) et \(-1\).

Distance strictement inférieure à 4 : \(-1-4\lt x\lt -1+4\), soit \(-5\lt x\lt 3\).

\(S=\,]-5;3[\) (bornes exclues car l'inégalité est stricte).

Quelles sont les solutions de \(|x-2|\leq 3\) ?

\([-3;3]\)
\([-1;5]\)
\([2;5]\)

Centre 2, rayon 3 : de \(2-3=-1\) à \(2+3=5\).

Récapitulatif

Ajouter un même nombre conserve le sens ; multiplier par un positif aussi ; multiplier par un négatif l'inverse.
Intervalles : crochet fermé si la borne est incluse, ouvert si elle est exclue ou infinie.
Encadrer : on additionne les bornes ; pour une différence, bornes croisées ; pour un produit de positifs, on multiplie les bornes.
\(|x-a|\) est la distance entre \(x\) et \(a\) ; \(|x-a|\leq r\iff x\in[a-r;a+r]\).

Multiplier par un négatif

Le sens de l'inégalité s'inverse : \(2\lt 5\) donne \(-2\gt -5\).

Intervalle \(]1;5]\)

\(1\lt x\leq 5\) : 1 exclu, 5 inclus.

Encadrer une différence

\(a-d\leq x-y\leq b-c\) : bornes croisées.

Amplitude

Pour \(a\leq x\leq b\), c'est \(b-a\) : la précision de l'encadrement.

\(|x-a|\leq r\)

Distance de \(x\) à \(a\) au plus \(r\) : \(x\in[a-r;a+r]\).