Introduction

Les inégalités trigonométriques permettent d'étudier le comportement des fonctions trigonométriques et de déterminer des plages de valeurs pour lesquelles certaines relations sont vérifiées.

Les inégalités fondamentales

Pour tout réel \( x \), les valeurs du sinus et du cosinus sont comprises dans l'intervalle \([-1, 1]\) :

• \(\quad -1 \leq \sin x \leq 1\)
• \(\quad -1 \leq \cos x \leq 1\)

Ce sont des inégalités de base souvent utilisées pour déduire d'autres inégalités.

Inégalités impliquant \( an x\) et \(\cot x\)

Rappel : \( an x = rac{\sin x}{\cos x}\) et \(\cot x = rac{\cos x}{\sin x}\), définies lorsque \(\cos x eq 0\) et \(\sin x eq 0\).

Les inégalités sur \(\sin x\) et \(\cos x\) permettent de donner des bornes à \( an x\) ou \(\cot x\) :

• Si \(\cos x > 0\), alors \( an x\) a le même signe que \(\sin x\).
• Pour \( x eq rac{\pi}{2} + k\pi \), on peut analyser \( an x\) en utilisant l'inégalité sur \(\sin x\) et \(\cos x\).

Inégalités pour \(\sin x\) en fonction de \(x\)

Par exemple, pour \( x \in \mathbb{R} \), on peut écrire :

    \(\sin x \leq 1\) et \(\sin x \geq -1\)

Ce qui implique que :

    \(-1 \leq \sin x \leq 1\)

De même, pour \(\cos x\) :

    \(-1 \leq \cos x \leq 1\)

Application : résolution d'inégalités trigonométriques

Exemple : Résoudre l'inégalité

    \(\sin x \geq rac{1}{2}\)

Solution : 1. On connaît que \(\sin x = rac{1}{2}\) pour \( x = rac{\pi}{6} + 2k\pi \) ou \( x = rac{5\pi}{6} + 2k\pi \), avec \(k \in \mathbb{Z}\). 2. La fonction \(\sin x\) est croissante sur \(\left[-rac{\pi}{2}, rac{\pi}{2} ight]\) et décroissante sur \(\left[rac{\pi}{2}, rac{3\pi}{2} ight]\). 3. On déduit que : - \(\sin x \geq rac{1}{2}\) sur l'intervalle \([-rac{\pi}{6} + 2k\pi,\ rac{\pi}{6} + 2k\pi]\), - puis on étend à toutes les solutions en utilisant la périodicité. 4. La solution est donc : \[ x \in \left[rac{\pi}{6} + 2k\pi,\ rac{5\pi}{6} + 2k\pi ight], \quad k \in \mathbb{Z}\]

Conclusion

Les inégalités trigonométriques sont des outils essentiels pour analyser et résoudre des problèmes impliquant les fonctions \(\sin x\), \(\cos x\), \( an x\) et \(\cot x\). Leur maîtrise permet d'établir des plages de validité pour ces fonctions et de résoudre efficacement des inégalités.