Objectifs

• Reconnaître une inéquation et vérifier si un nombre en est une solution.
• Connaître les règles qui permettent de transformer une inéquation (et le piège du nombre négatif).
• Résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue.
• Représenter l'ensemble des solutions sur une droite graduée.
• Mettre un problème de la vie courante en inéquation.

1. Qu'est-ce qu'une inéquation ?

Une équation est une égalité avec un signe \(=\) : c'est une balance en équilibre. Une inéquation est une inégalité qui contient une inconnue, avec l'un des quatre signes suivants :

• \(<\) : « strictement inférieur à » ;
• \(>\) : « strictement supérieur à » ;
• \(\leqslant\) : « inférieur ou égal à » ;
• \(\geqslant\) : « supérieur ou égal à ».

Par exemple, \(2x + 3 < 11\) est une inéquation d'inconnue \(x\). Comme une balance qui penche, elle compare deux membres : le membre de gauche \(2x+3\) et le membre de droite \(11\).

Un nombre est une solution de l'inéquation si, en le mettant à la place de \(x\), l'inégalité obtenue est vraie.

2. Les règles pour transformer une inéquation

Pour résoudre une inéquation, on la transforme pas à pas, comme une équation, en respectant trois règles :

1. Ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres : le sens de l'inégalité ne change pas. Si \(a < b\), alors \(a + c < b + c\) et \(a - c < b - c\).
2. Multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre positif (non nul) : le sens ne change pas. Si \(a < b\) et \(c > 0\), alors \(ac < bc\).
3. Multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre négatif (non nul) : le sens change. Si \(a < b\) et \(c < 0\), alors \(ac > bc\).

3. Résoudre une inéquation du premier degré

Méthode : on regroupe les termes en \(x\) dans un membre, les nombres dans l'autre, puis on divise par le nombre devant \(x\) en faisant attention à son signe.

flowchart LR
A[Inequation] --> B[Termes en x a gauche]
B --> C[Nombres a droite]
C --> D{Nombre devant x}
D -->|positif| E[Diviser sans changer le sens]
D -->|negatif| F[Diviser et retourner le signe]
E --> G[Solutions]
F --> G

Exemple résolu 1

Résoudre \(2x + 3 < 11\). Cherche d'abord, puis dévoile les étapes.

Exemple résolu 2 (avec un coefficient négatif)

Résoudre \(-3x + 5 \geqslant -7\).

Exemple résolu 3 (des \(x\) des deux côtés)

Résoudre \(5x - 4 > 2x + 8\). Cherche d'abord.

Pour voir l'inéquation \(2x + 3 < 11\) « en image », la droite représente \(y = 2x + 3\) et la ligne horizontale \(y = 11\). Les solutions sont les valeurs de \(x\) pour lesquelles la droite passe sous la ligne horizontale. Bouge les curseurs pour changer l'inéquation \(ax + b < c\) et observe où les deux lignes se croisent.

4. Représenter les solutions sur une droite graduée

Pour représenter les solutions :

• on place le nombre limite sur la droite graduée ;
• on colorie (ou on hachure) la partie qui contient les solutions ;
• on met un crochet au nombre limite : tourné vers les solutions si ce nombre est solution (signes \(\leqslant\) ou \(\geqslant\)), tourné vers l'extérieur s'il n'est pas solution (signes \(<\) ou \(>\)).

Construisons la représentation de \(x < 4\) étape par étape :

Pour \(x \leqslant 4\), on colorie la même zone, mais le crochet en 4 est tourné vers la zone coloriée : « ] », car 4 est solution. Pour \(x > 4\), on colorie à droite de 4 avec le crochet « ] » tourné vers l'extérieur (vers la gauche).

5. Résoudre un problème avec une inéquation

Cherche d'abord, puis dévoile les étapes.

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Erreurs fréquentes

• Oublier de retourner le signe quand on multiplie ou divise par un nombre négatif.
• Confondre \(<\) et \(\leqslant\) : la limite est exclue dans le premier cas, incluse dans le second.
• Mettre le crochet dans le mauvais sens ou colorier le mauvais côté de la droite graduée.
• Oublier d'interpréter la réponse dans un problème (par exemple, un nombre de stylos est entier).

Récapitulatif

• Une inéquation compare deux expressions avec \(<\), \(>\), \(\leqslant\) ou \(\geqslant\) ; elle a souvent une infinité de solutions.
• Ajouter, soustraire, multiplier ou diviser par un positif : le sens reste le même. Multiplier ou diviser par un négatif : le sens change.
• On représente les solutions sur une droite graduée : zone coloriée et crochet à la limite.