Inéquations et représentation graphique

Introduction

Une inéquation est une expression mathématique qui compare deux valeurs ou expressions en utilisant un symbole d'inégalité. Elle permet de déterminer l'ensemble des solutions qui vérifient cette relation.

Les symboles d'inégalité

• \( > \) : supérieur à
• \( < \) : inférieur à
• \( \geq \) : supérieur ou égal à
• \( \leq \) : inférieur ou égal à

Résolution d'une inéquation simple

Exemple : résoudre l'inéquation \( 2x + 3 < 7 \).

Étapes :

1. Soustraire 3 des deux côtés : \( 2x + 3 - 3 < 7 - 3 \)
2. Simplifier : \( 2x < 4 \)
3. Diviser par 2 (nombre positif, donc le sens de l'inégalité ne change pas) : \( x < 2 \)

Solution : tout nombre \( x \) tel que \( x < 2 \).

Représentation graphique sur une droite numérique

Pour représenter la solution \( x < 2 \) :

• Tracer une droite horizontale
• Placer un cercle ouvert en \( 2 \) (pour indiquer que \( x = 2 \) n'est pas inclus)
• Colorier ou tracer une flèche vers la gauche pour montrer tous les \( x \) inférieurs à 2

Inéquations avec une solution en intervalle

Une solution comme \( x \geq -1 \) s'écrit en intervalle :
\[ [-1, +\infty) \]

Ce qui signifie que \( x \) peut être égal à -1 ou plus grand, jusqu'à l'infini.

Pratique : Représentation graphique d'une inéquation

Par exemple, représenter \( x \leq 3 \) :

• Cercle fermé en 3 (car \( x \) peut être égal à 3)
• Flèche vers la gauche

Conclusion

Les inéquations permettent d'exprimer des plages de solutions. La représentation graphique facilite la compréhension et la visualisation des solutions.