Inéquations et solutions

Résoudre une inéquation, c'est trouver toutes les valeurs de \(x\) qui rendent l'inégalité vraie ; on procède comme pour une équation, mais on retourne le sens de l'inégalité quand on multiplie ou divise par un nombre négatif.

Objectifs

Savoir si un nombre est solution d'une inéquation.
Résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue.
Écrire l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle et le représenter sur une droite graduée.
Résoudre un système de deux inéquations et un problème concret.

1. Qu'est-ce qu'une inéquation ?

Une inéquation est une inégalité qui contient une inconnue, avec l'un des symboles \(<\), \(>\), \(\leq\), \(\geq\). Par exemple : \(3x - 5 < 7\).

Un nombre est solution s'il rend l'inégalité vraie quand on le met à la place de \(x\). Contrairement à une équation du premier degré, une inéquation a en général une infinité de solutions.

Lequel de ces nombres est solution de \(2x + 1 \geq 9\) ?

\(0\)
\(3\)
\(4\)

\(2\times 4 + 1 = 9\) et \(9 \geq 9\) est vrai. Pour 3, on obtient \(7\), qui n'est pas supérieur ou égal à 9.

2. Les règles pour résoudre

Pourquoi ? Observe : \(2 < 5\). En multipliant par \(-1\), on obtient \(-2\) et \(-5\). Or \(-2 > -5\) : sur la droite graduée, \(-2\) est à droite de \(-5\). Le sens s'est retourné.

On divise les deux membres de \(-4x \geq 12\) par \(-4\). Qu'obtient-on ?

\(x \leq -3\)
\(x \geq -3\)
\(x \geq 3\)

On divise par un nombre négatif : le sens change, \(\geq\) devient \(\leq\), et \(12 \div (-4) = -3\).

3. Résoudre et représenter les solutions

Exemple résolu 1

Résoudre \(3x - 5 < 7\). Cherche d'abord, puis dévoile les étapes.

On ajoute 5 aux deux membres : \(3x < 12\).

On divise par 3, nombre positif : le sens ne change pas, \(x < 4\).

Ensemble des solutions : \(S = \left]-\infty\,;\,4\right[\). Le crochet est tourné vers l'extérieur en 4 car 4 n'est pas solution (\(3\times 4 - 5 = 7\), et \(7 < 7\) est faux).

On repère sur la droite graduée la valeur frontière 4.

L'inégalité est stricte : 4 n'est pas solution, on place un crochet tourné vers l'extérieur.

On colorie toute la partie à gauche de 4 : ce sont tous les nombres inférieurs à 4.

Inéquation	Intervalle	La borne est-elle solution ?
\(x < a\)	\(\left]-\infty\,;\,a\right[\)	non
\(x \leq a\)	\(\left]-\infty\,;\,a\right]\)	oui
\(x > a\)	\(\left]a\,;\,+\infty\right[\)	non
\(x \geq a\)	\(\left[a\,;\,+\infty\right[\)	oui

Exemple résolu 2

Résoudre \(-2x + 3 \geq 11\).

On soustrait 3 : \(-2x \geq 8\).

On divise par \(-2\), nombre négatif : le sens change, \(x \leq -4\).

\(S = \left]-\infty\,;\,-4\right]\). Vérification avec \(x = -4\) : \(-2\times(-4) + 3 = 11\) et \(11 \geq 11\) est vrai.

Exemple résolu 3

Résoudre \(5x - 2 \leq 2x + 7\).

Voir la solution

\begin{align} 5x - 2 &\leq 2x + 7\\ 5x - 2x &\leq 7 + 2\\ 3x &\leq 9\\ x &\leq 3 \end{align}

On a divisé par 3, positif : le sens ne change pas. \(S = \left]-\infty\,;\,3\right]\).

Voir les solutions sur un graphique

Résoudre \(ax + b > c\), c'est chercher les abscisses où la droite \(y = ax + b\) passe au-dessus de la droite horizontale \(y = c\). Règle les curseurs (par exemple \(a = 3\), \(b = -5\), \(c = 7\)) et repère le point où les deux droites se croisent.

Quel est l'ensemble des solutions de \(x + 6 > 2\) ?

\(\left]-\infty\,;\,-4\right[\)
\(\left]-4\,;\,+\infty\right[\)
\(\left[-4\,;\,+\infty\right[\)

\(x > 2 - 6\), soit \(x > -4\). L'inégalité est stricte : \(-4\) est exclu, d'où le crochet ouvert.

Résous \(-3x < 9\).

\(x < -3\)
\(x < 3\)
\(x > -3\)

On divise par \(-3\), négatif : le sens change. \(x > 9 \div (-3)\), soit \(x > -3\).

4. Système de deux inéquations

Pour résoudre un système de deux inéquations, on résout chacune, puis on garde les nombres qui vérifient les deux (la partie commune des deux ensembles).

flowchart LR
A[Resoudre la 1re inequation] --> C[Representer les deux ensembles]
B[Resoudre la 2e inequation] --> C
C --> D[Garder la partie commune]

Exemple résolu 4

Résoudre le système \(\begin{cases} 2x - 1 > 3\\ x + 4 \leq 10 \end{cases}\)

Première inéquation : \(2x > 4\), donc \(x > 2\).

Deuxième inéquation : \(x \leq 6\).

Les nombres qui vérifient les deux sont à la fois plus grands que 2 et inférieurs ou égaux à 6 : \(2 < x \leq 6\).

\(S = \left]2\,;\,6\right]\) : 2 est exclu, 6 est inclus.

Quel est l'ensemble des solutions du système \(x \geq -1\) et \(x < 3\) ?

\(\left[-1\,;\,3\right[\)
\(\left]-1\,;\,3\right]\)
\(\left]-\infty\,;\,3\right[\)

\(-1\) est inclus (symbole \(\geq\)) et 3 est exclu (symbole \(<\)) : \(\left[-1\,;\,3\right[\).

5. Résoudre un problème

Exemple résolu 5

Aïcha a 5 000 F CFA. Elle achète un cahier à 1 400 F CFA et veut acheter des stylos à 300 F CFA l'un. Combien de stylos peut-elle acheter au maximum ?

On choisit l'inconnue : \(x\) est le nombre de stylos.

On traduit : la dépense ne doit pas dépasser 5 000 F CFA, donc \(1400 + 300x \leq 5000\).

On résout : \(300x \leq 3600\), puis \(x \leq 12\).

On conclut : \(x\) est un nombre entier, Aïcha peut acheter au maximum 12 stylos. Vérification : \(1400 + 300\times 12 = 5000\).

Un taxi-moto demande 200 F CFA de prise en charge et 100 F CFA par kilomètre. Avec 1 000 F CFA, quelle distance maximale peut-on parcourir ?

10 km
8 km
12 km

\(200 + 100x \leq 1000\), donc \(100x \leq 800\) et \(x \leq 8\) : au plus 8 km.

Erreurs fréquentes

Ne pas changer le sens de l'inégalité en multipliant ou divisant par un nombre négatif.
Se tromper de crochet : la borne est exclue avec \(<\) ou \(>\), incluse avec \(\leq\) ou \(\geq\) ; du côté de l'infini, le crochet est toujours ouvert.
Donner une seule valeur comme réponse alors que l'inéquation a une infinité de solutions.
Dans un problème, oublier que l'inconnue est souvent un nombre entier.

Récapitulatif

Une inéquation a en général une infinité de solutions, réunies dans un intervalle.
Ajouter, soustraire, multiplier ou diviser par un positif : le sens ne change pas.
Multiplier ou diviser par un négatif : le sens change.
On représente les solutions sur une droite graduée en précisant si la borne est incluse.
Système : on garde la partie commune des solutions des deux inéquations.

Inéquation

Inégalité contenant une inconnue, avec \(<\), \(>\), \(\leq\) ou \(\geq\).

Diviser par un négatif

On change le sens : \(-2x < 6\) donne \(x > -3\).

\(x \leq a\)

\(S = \left]-\infty\,;\,a\right]\) : \(a\) est inclus.

\(x > a\)

\(S = \left]a\,;\,+\infty\right[\) : \(a\) est exclu.

Système de deux inéquations

Les solutions communes aux deux inéquations, par exemple \(\left]2\,;\,6\right]\).