Inéquations et solutions

Introduction

Une inéquation est une expression mathématique qui compare deux quantités à l’aide d’un symbole d'inégalité, comme \(\ <, \leq, \>, \geq \).

Les symboles d'inégalité

• \(\ < \) : strictement inférieur
• \(\ \leq \) : inférieur ou égal
• \(\ > \) : strictement supérieur
• \(\ \geq \) : supérieur ou égal

Définition

Une inéquation est une relation du type :
\( ext{expression} \ ext{opérateur} \ ext{expression} \) où l'opérateur est un symbole d'inégalité.

Exemple

\( 2x + 3 \leq 7 \)

Résolution d'une inéquation

Pour résoudre une inéquation :
1. Isoler la variable (par exemple, \( x \))
2. Manipuler l'inéquation en effectuant les mêmes opérations des deux côtés, en respectant les règles (notamment en inversant le sens de l'inégalité si on divise ou multiplie par un nombre négatif)

Règles importantes

• Ajouter, soustraire, multiplier ou diviser les deux côtés par un même nombre positif ne change pas le sens de l'inégalité.
• Multiplier ou diviser par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité.

Exemple de résolution

Résoudre : \( -3x + 4 \geq 1 \)

1. Soustraire 4 : \( -3x \geq -3 \)
2. Diviser par -3 (attention : changement de sens) : \( x \leq 1 \)

Solution

La solution de l'inéquation est :
\( x \leq 1 \)

Représentation graphique

Sur une droite numérique, la solution \( x \leq 1 \) est représentée par une tache fermée à partir de 1 vers la gauche.

Conclusion

Les inéquations permettent de définir des ensembles de solutions que l'on peut représenter graphiquement ou exprimer en intervalle.