Inéquations : notions essentielles en Mathématiques 1ère

Qu'est-ce qu'une inéquation ?

Une inéquation est une déclaration mathématique qui compare deux expressions en utilisant des symboles comme <, >, \leq, \geq. Elle indique que l'une est inférieure, supérieure, inférieure ou égale, ou supérieure ou égale à l'autre.

Exemple : < STEMATH \[ 2x + 3 > 7 \] / STEMATH > Elle ressemble à une équation, mais au lieu d'avoir une égalité, elle exprime une relation d'ordre.

Les symboles des inéquations

< : moins que
> : plus que
≤ : moins ou égal à
≥ : plus ou égal à

Comment résoudre une inéquation ?

Résoudre une inéquation consiste à trouver toutes les valeurs de la variable qui rendent la déclaration vraie.

Processus simple :

Traiter l'inequation comme une équation pour isoler la variable (par addition, soustraction, multiplication, division)
Adapter le signe à chaque étape, notamment si vous multipliez ou divisez par un nombre négatif (le signe doit alors être inversé).

Exemple concret

Résolvons l'inequation : \[ -3x + 5 \leq 2 \]

Soustraire 5 des deux côtés : \[ -3x \leq -3 \]
Diviser par -3 (attention, on inverse le sens de l'inequation) : \[ x \geq 1 \]

La solution est : \( x \geq 1 \), c'est-à-dire que toutes les valeurs de \( x \) supérieures ou égales à 1 vérifient cette inéquation.

Représentation graphique

Pour visualiser, on trace une droite numérique :

Un cercle rempli sur 1 pour indiquer \( x \geq 1 \)
La flèche à droite montre que toutes les valeurs supérieures à 1 sont aussi solutions

Conclusion

Les inéquations permettent de définir un ensemble de solutions plutôt qu'une seule valeur, comme pour les équations. Savoir les résoudre est essentiel pour modéliser des situations où il y a des limites ou des seuils.