Inéquations : notions et résolution

1. Qu'est-ce qu’une inéquation ?

Une inéquation est une expression qui compare deux quantités à l’aide d'un symbole d'inégalité, comme : <, >, ≤ ou ≥. Elle s’écrit par exemple :
ax + b < c, où a, b, c sont des nombres et x la variable à déterminer.

2. Notation des inéquations

• < (strictement inférieur)
• > (strictement supérieur)
• ≤ (inférieur ou égal)
• ≥ (supérieur ou égal)

3. Résolution des inéquations simples

Pour résoudre une inéquation du premier degré comme ax + b < c, on suit une démarche similaire à celle des équations :

1. Isoler le terme en x en effectuant des opérations inverses.
2. Faire attention aux signes lors de la multiplication ou la division par un nombre négatif : il faut alors inverser le symbole de l'inégalité.

4. Exemple de résolution

Résolvons l'inéquation : \( 3x - 4 > 5 \)

Étapes :

• Ajouter 4 des deux côtés : \( 3x - 4 + 4 > 5 + 4 \) \(\Rightarrow 3x > 9 \)
• Diviser par 3 (positive, donc le sens de l'inégalité ne change pas) : \( x > rac{9}{3} = 3 \)

La solution est : x > 3.

5. Représentation graphique

Sur une droite numérique :

• Pour \( x > 3 \), on représentera tous les points à droite de 3, avec un cercle vide en 3 (non inclus).
• Si l'inégalité était \( x \ge; 3 \), le cercle serait rempli.

6. Résumé

• Les inéquations se résolvent en isolant la variable.
• Faites attention aux signes lors de la multiplication ou division par un nombre négatif.
• Les solutions sont souvent données sous forme d'intervalle ou de représentation graphique.