Inéquations simples dans ℝ

Introduction

Les inéquations simples sont des expressions mathématiques qui utilisent des inégalités telles que <, \ >, \(\leq\), ou \(\geq\). Résoudre une inéquation consiste à déterminer toutes les valeurs de la variable qui vérifient cette inégalité.

Notations et symboles

• < : strictement inférieur
• > : strictement supérieur
• ≤ : inférieur ou égal
• ≥ : supérieur ou égal

Résolution d'une inéquation simple

Considérons une inéquation simple du type :

ax + b > 0

où \(a\) et \(b\) sont des nombres réels et \(a eq 0\).

Étapes de résolution

1. Isoler la variable \(x\) :
2. Diviser ou multiplier par \(a\) en faisant attention au sens de l'inégalité si on multiplie ou divise par un nombre négatif.

Cas particuliers

• Si \(a > 0\), la résolution consiste à résoudre : \[x > -rac{b}{a}\]
• Si \(a < 0\), la résolution consiste à résoudre : \[x < -rac{b}{a}\]

Exemples

Exemple 1

Résoudre : \(3x - 4 > 0\)

1. On isole \(x\) : \[egin{aligned} 3x - 4 > 0 \ 3x > 4 \ x > rac{4}{3} \end{aligned}\]

Exemple 2

Résoudre : \(-2x + 5 ≤ 0\)

1. On isole \(x\) : \[egin{aligned} -2x + 5 ≤ 0 \ -2x ≤ -5 \ x ≥ rac{5}{2}\ (enchaînement des signes lors de la division par un négatif)\end{aligned}\]

Conclusion

Les inéquations simples se résolvent en isolant la variable et en faisant attention au sens lors de la multiplication ou division par un nombre négatif. La solution est généralement une plage de valeurs (un intervalle) dans \(\mathbb{R}\).