Influence de la gravité sur le poids

La masse d'un objet ne change jamais, mais son poids \(P = m \times g\) dépend de l'intensité de la pesanteur \(g\), qui varie selon l'astre, l'altitude et le lieu.

Objectifs

Distinguer la masse \(m\) (en kg) et le poids \(P\) (en N).
Utiliser la relation \(P = m\,g\) et calculer \(P\), \(m\) ou \(g\).
Expliquer pourquoi le poids change sur la Lune, sur Mars ou en altitude, alors que la masse reste la même.
Relier \(g\) à l'attraction gravitationnelle : \(g = \dfrac{G\,M}{R^2}\).

1. Masse et poids : deux grandeurs différentes

La masse \(m\) mesure la quantité de matière. Elle s'exprime en kilogrammes (kg) et se mesure avec une balance. Elle est la même partout dans l'Univers.
Le poids \(P\) est la force d'attraction exercée par un astre (la Terre, la Lune…) sur l'objet. C'est une force : il s'exprime en newtons (N) et se mesure avec un dynamomètre.

Les deux sont liés par la relation :

\[ P = m \times g \]

avec \(P\) en N, \(m\) en kg et \(g\) l'intensité de la pesanteur en newtons par kilogramme (\(\text{N/kg}\)). Sur Terre, en moyenne, \(g \approx 9{,}8\ \text{N/kg}\).

Posé à la surface, l'objet subit son poids P, vertical et dirigé vers le centre de la Terre.

Ailleurs sur le globe, le poids est encore dirigé vers le centre : « vers le bas » change selon le lieu.

Plus loin de la Terre, en altitude, le poids est toujours dirigé vers le centre, mais il est plus faible.

Manipule : le poids est proportionnel à la masse

La droite représente \(P = g \times m\) : en abscisse la masse en kg, en ordonnée le poids en N. Règle \(g\) sur 9,8 (Terre), 1,6 (Lune) ou 3,7 (Mars) et observe la pente.

Quelle est l'unité du poids ?

Le kilogramme (kg)
Le newton (N)
Le newton par kilogramme (N/kg)

Le poids est une force : il s'exprime en newtons. Le kg est l'unité de la masse, et le N/kg celle de \(g\).

2. Le poids change d'un astre à l'autre

Chaque astre a sa propre intensité de pesanteur à sa surface (valeurs arrondies, d'après les fiches de données planétaires de la NASA) :

Astre	\(g\) (N/kg)
Terre	\(9{,}8\)
Lune	\(1{,}6\)
Mars	\(3{,}7\)
Jupiter	\(24{,}8\)

Sur la Terre : \(P_T = m\,g_T = 70 \times 9{,}8 = 686\ \text{N}\).

Sur la Lune : \(P_L = m\,g_L = 70 \times 1{,}6 = 112\ \text{N}\).

Sur Mars : \(P_M = m\,g_M = 70 \times 3{,}7 = 259\ \text{N}\).

Sa masse reste \(70\) kg partout ; son poids lunaire est environ 6 fois plus petit que son poids terrestre (\(\dfrac{686}{112} \approx 6{,}1\)).

Voir la solution

\[ g = \frac{P}{m} = \frac{7{,}4}{2{,}0} = 3{,}7\ \text{N/kg} \]

D'après le tableau, c'est la valeur de \(g\) sur Mars.

Un sac de riz a une masse de 25 kg sur Terre. Sur la Lune, sa masse est :

25 kg
4 kg
40 kg

La masse ne dépend pas du lieu : elle reste 25 kg. C'est le poids qui change : \(25 \times 9{,}8 = 245\) N sur Terre et \(25 \times 1{,}6 = 40\) N sur la Lune.

3. D'où vient \(g\) ? La gravitation universelle

Le poids d'un objet à la surface d'un astre est pratiquement égal à la force d'attraction gravitationnelle exercée par cet astre de masse \(M\) et de rayon \(R\) :

\[ P = m\,g \approx G\,\frac{m\,M}{R^2} \quad \Longrightarrow \quad g \approx \frac{G\,M}{R^2} \]

avec \(G = 6{,}67 \times 10^{-11}\ \text{N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}\), la constante de gravitation universelle.

Vérifier la valeur de \(g\) sur Terre (avec \(M_T = 5{,}97 \times 10^{24}\) kg et \(R_T = 6{,}37 \times 10^{6}\) m)

\[ g_T = \frac{6{,}67 \times 10^{-11} \times 5{,}97 \times 10^{24}}{\left(6{,}37 \times 10^{6}\right)^2} = \frac{3{,}98 \times 10^{14}}{4{,}06 \times 10^{13}} \approx 9{,}8\ \text{N/kg} \]

flowchart LR
A[Masse de l astre M] --> C[Intensité g]
B[Distance au centre] --> C
C --> D[Poids P egal m fois g]
E[Masse de l objet m] --> D

4. Le poids change avec l'altitude et le lieu

En altitude \(h\), la distance au centre de la Terre devient \(R + h\). L'intensité de la pesanteur devient :

\[ g(h) = g_0 \times \left(\frac{R}{R + h}\right)^2 \]

avec \(g_0 \approx 9{,}8\ \text{N/kg}\) au sol et \(R \approx 6\,370\) km. \(g\) diminue quand on s'éloigne de la Terre.

Manipule : g selon l'altitude

En abscisse l'altitude \(h\) en km, en ordonnée \(g\) en N/kg. Le curseur \(g\) est la valeur au sol, \(R\) le rayon de l'astre en km (Terre : 6 370 ; Lune : environ 1 740 avec \(g = 1{,}6\)).

Avion : \(g = 9{,}8 \times \left(\dfrac{6\,370}{6\,380}\right)^2 \approx 9{,}77\ \text{N/kg}\) : une baisse d'environ 0,3 %, imperceptible.

Station spatiale : \(g = 9{,}8 \times \left(\dfrac{6\,370}{6\,770}\right)^2 \approx 8{,}7\ \text{N/kg}\).

À 400 km, la Terre attire encore les astronautes avec près de 90 % de la valeur au sol.

Sur Terre, \(g\) varie aussi un peu avec la latitude : environ \(9{,}78\ \text{N/kg}\) à l'équateur et \(9{,}83\ \text{N/kg}\) aux pôles, car la Terre est légèrement aplatie et tourne sur elle-même.

Quand on monte en altitude, l'intensité de la pesanteur g :

augmente
reste exactement la même
diminue

La distance au centre de la Terre augmente, et \(g\) varie comme \(\dfrac{1}{(R + h)^2}\) : il diminue.

5. Erreurs fréquentes

Quel est le poids sur Terre d'un régime de bananes de 500 g ?

4 900 N
4,9 N
0,5 N

On convertit : \(500\ \text{g} = 0{,}500\ \text{kg}\), puis \(P = 0{,}500 \times 9{,}8 = 4{,}9\ \text{N}\).

Récapitulatif

La masse \(m\) (kg) est invariable ; le poids \(P\) (N) dépend du lieu.
\(P = m\,g\), avec \(g \approx 9{,}8\) N/kg sur Terre, \(1{,}6\) sur la Lune, \(3{,}7\) sur Mars.
\(g \approx \dfrac{G\,M}{R^2}\) : \(g\) est plus grand pour un astre plus massif et plus petit quand on s'éloigne de son centre.
En altitude : \(g(h) = g_0 \left(\dfrac{R}{R + h}\right)^2\).

Masse

Quantité de matière, en kg, mesurée avec une balance ; identique partout.

Poids

Force d'attraction de l'astre, en N, mesurée au dynamomètre : \(P = m\,g\).

Intensité de la pesanteur \(g\)

En N/kg : \(9{,}8\) sur Terre, \(1{,}6\) sur la Lune, \(3{,}7\) sur Mars.

Origine de \(g\)

La gravitation : \(g \approx \dfrac{G\,M}{R^2}\).

Effet de l'altitude

\(g\) diminue quand on s'éloigne : \(g(h) = g_0 \left(\dfrac{R}{R + h}\right)^2\).