Influence du protocole, incertitude-type

Quand on refait une mesure, on n'obtient pas toujours le même nombre : l'incertitude-type chiffre cet « éparpillement », et un bon protocole permet de le réduire.

Objectifs

Comprendre pourquoi une mesure varie quand on la répète (variabilité de la mesure).
Calculer la moyenne et l'écart-type d'une série de mesures.
Évaluer une incertitude-type à partir d'une série de mesures (approche statistique).
Comparer deux protocoles et écrire correctement un résultat de mesure.
Comparer un résultat à une valeur de référence.

1. Une mesure varie quand on la répète

Quand on mesure plusieurs fois la même grandeur, dans les mêmes conditions, on obtient des valeurs légèrement différentes. C'est la variabilité de la mesure. Elle vient de l'expérimentateur (réflexes, lecture), de l'instrument et de petites variations des conditions.

Aïcha mesure 5 fois la même longueur et trouve des valeurs un peu différentes. Que peut-on en conclure ?

Elle a forcément fait une faute de calcul
C'est normal : toute mesure présente une variabilité
Il faut garder seulement la première valeur

Répéter une mesure donne toujours des valeurs un peu dispersées. On exploite toute la série au lieu d'en choisir une seule.

2. Moyenne, écart-type et incertitude-type

Pour une série de \(n\) mesures indépendantes \(x_1, x_2, \dots, x_n\) :

La moyenne est la meilleure estimation de la valeur mesurée : \[ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \]
L'écart-type \(s\) mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne (la calculatrice le donne directement, souvent noté \(\sigma_{n-1}\) ou \(s_x\)) : \[ s = \sqrt{\frac{(x_1-\bar{x})^2 + (x_2-\bar{x})^2 + \dots + (x_n-\bar{x})^2}{n-1}} \]
L'incertitude-type sur la moyenne est : \[ u(\bar{x}) = \frac{s}{\sqrt{n}} \]

Joue avec la courbe ci-dessous : elle montre l'allure de la répartition des mesures. Le curseur m déplace le centre (la moyenne), le curseur s élargit ou resserre la cloche (la dispersion).

Exemple résolu : la période d'un pendule

Kofi chronomètre une seule oscillation d'un pendule, 6 fois. Il obtient (en secondes) : 1,38 ; 1,45 ; 1,41 ; 1,36 ; 1,44 ; 1,40. Calcule la moyenne, l'écart-type et l'incertitude-type. Cherche d'abord.

Étape 1, la moyenne : \[ \bar{T} = \frac{1{,}38 + 1{,}45 + 1{,}41 + 1{,}36 + 1{,}44 + 1{,}40}{6} = \frac{8{,}44}{6} \approx 1{,}4067\ \text{s} \]

Étape 2, les écarts à la moyenne : \(-0{,}0267\) ; \(+0{,}0433\) ; \(+0{,}0033\) ; \(-0{,}0467\) ; \(+0{,}0333\) ; \(-0{,}0067\). La somme de leurs carrés vaut environ \(0{,}005933\ \text{s}^2\).

Étape 3, l'écart-type : \[ s = \sqrt{\frac{0{,}005933}{6-1}} = \sqrt{0{,}0011867} \approx 0{,}034\ \text{s} \]

Étape 4, l'incertitude-type : \[ u(\bar{T}) = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{0{,}034}{\sqrt{6}} \approx \frac{0{,}034}{2{,}45} \approx 0{,}014\ \text{s} \]

Étape 5, l'écriture du résultat : \(T = 1{,}407\ \text{s}\) avec \(u(T) = 0{,}014\ \text{s}\). La moyenne est arrondie au même rang (le millième) que le dernier chiffre de l'incertitude-type.

Une série de \(n = 9\) mesures a un écart-type \(s = 0{,}6\ \text{cm}\). Que vaut l'incertitude-type sur la moyenne ?

\(0{,}6\ \text{cm}\)
\(0{,}067\ \text{cm}\)
\(0{,}2\ \text{cm}\)

\(u = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{0{,}6}{\sqrt{9}} = \frac{0{,}6}{3} = 0{,}2\ \text{cm}\). Il faut diviser par la racine de \(n\), pas par \(n\).

3. L'influence du protocole

Le protocole est la façon de réaliser la mesure : instrument choisi, méthode, nombre de répétitions. Changer de protocole peut fortement changer la dispersion, donc l'incertitude-type.

Kofi change de protocole : il chronomètre maintenant 10 oscillations d'un coup et divise par 10. Il obtient pour la période (en secondes) : 1,402 ; 1,405 ; 1,399 ; 1,404 ; 1,401 ; 1,403. Sa calculatrice donne \(\bar{T} \approx 1{,}4023\ \text{s}\) et \(s \approx 0{,}0022\ \text{s}\), donc :

\[ u(\bar{T}) = \frac{0{,}0022}{\sqrt{6}} \approx 0{,}0009\ \text{s} \]

Compare les deux séries sur la figure, étape par étape.

Protocole A, une oscillation chronométrée : les 6 mesures s'étalent sur près d'un dixième de seconde.

Protocole B, dix oscillations divisées par 10 : les 6 mesures sont serrées les unes contre les autres.

Les deux moyennes sont proches, mais la dispersion de B est bien plus faible : son incertitude-type est plus de 10 fois plus petite.

Pourquoi le protocole B (10 oscillations) donne-t-il une incertitude plus petite ?

L'erreur due au temps de réaction est répartie sur 10 périodes, puis divisée par 10
Le pendule oscille plus lentement quand on le chronomètre longtemps
On a fait plus de calculs

Le temps de réaction au déclenchement et à l'arrêt pèse à peu près autant sur 10 périodes que sur une seule ; en divisant la durée totale par 10, on divise aussi cette erreur par environ 10.

Si l'on passe de 4 à 16 mesures avec la même dispersion \(s\), l'incertitude-type est :

divisée par 4
divisée par 2
inchangée

\(u = \frac{s}{\sqrt{n}}\) : on passe de \(\frac{s}{\sqrt{4}} = \frac{s}{2}\) à \(\frac{s}{\sqrt{16}} = \frac{s}{4}\), donc l'incertitude est divisée par 2.

4. Une seule mesure : lecture d'une graduation

Quand on ne fait qu'une seule lecture sur un instrument gradué, on ne peut pas calculer d'écart-type. On estime alors l'incertitude-type à partir de la graduation :

\[ u(x) = \frac{\text{une graduation}}{\sqrt{12}} \]

Calcule l'incertitude-type pour l'éprouvette graduée tous les 1 mL, puis vérifie.

\[ u(V) = \frac{1\ \text{mL}}{\sqrt{12}} \approx \frac{1}{3{,}46} \approx 0{,}3\ \text{mL} \]

Si Nadia lit \(48\ \text{mL}\), elle écrit \(V = 48{,}0\ \text{mL}\) avec \(u(V) = 0{,}3\ \text{mL}\).

5. Écrire et comparer un résultat

On écrit le résultat sous la forme : valeur mesurée, avec son incertitude-type et son unité, par exemple \(T = 1{,}4023\ \text{s}\) avec \(u(T) = 0{,}0009\ \text{s}\). On garde en général un ou deux chiffres significatifs pour l'incertitude-type, et on arrondit la valeur mesurée au même rang.

Pour comparer à une valeur de référence \(x_{\text{réf}}\), on regarde si l'écart \(|\bar{x} - x_{\text{réf}}|\) est petit devant l'incertitude-type \(u\) (de l'ordre de \(u\), ou de quelques \(u\) au plus) : le résultat est alors compatible avec la référence. S'il vaut beaucoup de fois \(u\), on cherche une erreur dans le protocole.

Exemple résolu

D'après la longueur du fil, la période attendue du pendule de Kofi vaut \(T_{\text{réf}} = 1{,}403\ \text{s}\). Les deux protocoles sont-ils compatibles avec cette référence ? Cherche d'abord.

Protocole A : \(|1{,}407 - 1{,}403| = 0{,}004\ \text{s}\), plus petit que \(u = 0{,}014\ \text{s}\). Compatible, mais peu précis.

Protocole B : \(|1{,}4023 - 1{,}403| = 0{,}0007\ \text{s}\), plus petit que \(u = 0{,}0009\ \text{s}\). Compatible, et bien plus précis.

Conclusion : les deux résultats sont en accord avec la référence, mais le protocole B permet d'affirmer la valeur de la période avec beaucoup plus d'assurance.

Quelle écriture est la mieux adaptée pour \(\bar{m} = 12{,}3478\ \text{g}\) et \(u(m) = 0{,}03\ \text{g}\) ?

\(m = 12{,}3478\ \text{g}\), \(u(m) = 0{,}03\ \text{g}\)
\(m = 12\ \text{g}\), \(u(m) = 0{,}03\ \text{g}\)
\(m = 12{,}35\ \text{g}\), \(u(m) = 0{,}03\ \text{g}\)

L'incertitude porte sur le centième : on arrondit la moyenne au centième, \(12{,}35\ \text{g}\). Garder plus de chiffres ferait croire à une précision qu'on n'a pas.

Erreurs fréquentes

Garder une seule mesure « la meilleure » au lieu d'exploiter toute la série.
Diviser l'écart-type par \(n\) au lieu de \(\sqrt{n}\).
Utiliser \(\sigma_n\) au lieu de \(s\) (ou \(\sigma_{n-1}\)) sur la calculatrice.
Écrire trop de chiffres pour la valeur mesurée par rapport à l'incertitude.
Oublier l'unité de l'incertitude-type.
Croire qu'une petite incertitude prouve que la mesure est juste (erreur systématique possible).

Récapitulatif

Répéter une mesure donne des valeurs dispersées : c'est la variabilité de la mesure.
Meilleure estimation : la moyenne \(\bar{x}\) ; dispersion : l'écart-type \(s\).
Incertitude-type sur la moyenne : \(u(\bar{x}) = \frac{s}{\sqrt{n}}\) ; pour une seule lecture : \(u = \frac{\text{graduation}}{\sqrt{12}}\).
Un meilleur protocole (instrument, méthode, nombre de mesures) réduit l'incertitude.
Résultat : valeur, incertitude-type à 1 ou 2 chiffres significatifs, unité ; compatible avec la référence si l'écart reste de l'ordre de \(u\).

Variabilité de la mesure

Des mesures répétées de la même grandeur donnent des valeurs légèrement différentes

Moyenne

\(\bar{x} = \frac{x_1 + \dots + x_n}{n}\), meilleure estimation de la grandeur

Écart-type

\(s\) mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne (\(\sigma_{n-1}\) sur la calculatrice)

Incertitude-type

\(u(\bar{x}) = \frac{s}{\sqrt{n}}\)

Influence du protocole

Instrument, méthode et nombre de mesures changent la dispersion, donc l'incertitude

Écrire un résultat

Valeur arrondie au rang de \(u\), incertitude à 1 ou 2 chiffres significatifs, unité