Interfrange et différence de chemin optique

Deux ondes lumineuses qui arrivent avec un retard d'un nombre entier de longueurs d'onde s'ajoutent (frange brillante), et la distance entre deux franges brillantes, l'interfrange, vaut \(i = \dfrac{\lambda D}{a}\).

Objectifs

Définir la différence de chemin optique (ou différence de marche) \(\delta\) entre deux ondes.
Établir l'expression \(\delta = \dfrac{a\,x}{D}\) dans le dispositif des fentes de Young.
Reconnaître une frange brillante ou sombre à partir de \(\delta\) et de \(\lambda\).
Établir et utiliser l'interfrange \(i = \dfrac{\lambda D}{a}\) pour calculer \(i\), \(\lambda\), \(a\) ou \(D\).

1. Rappel : des franges grâce à deux sources cohérentes

Dans l'expérience des fentes de Young, une source lumineuse monochromatique \(S\) éclaire deux fentes fines et très proches \(S_1\) et \(S_2\). Ces deux fentes se comportent comme deux sources cohérentes (même fréquence, déphasage constant) car elles reçoivent la lumière de la même source. Sur un écran placé loin, on observe une alternance de bandes brillantes et sombres : les franges d'interférence.

La source S éclaire les deux fentes fines S1 et S2 : elles deviennent deux sources cohérentes.

Chaque fente envoie une onde vers un point M de l'écran : l'une parcourt la distance d1, l'autre la distance d2.

On repère le montage par trois grandeurs : a (écart entre les fentes), D (distance fentes-écran) et x (position de M mesurée depuis le centre O).

Pourquoi utilise-t-on une seule source S pour éclairer les deux fentes ?

Pour avoir plus de lumière sur l'écran
Pour que les deux fentes aient des couleurs différentes
Pour que les deux ondes soient cohérentes

Deux lampes indépendantes ne gardent pas un déphasage constant : les franges bougeraient sans cesse et seraient invisibles. Une source unique rend S1 et S2 cohérentes.

2. La différence de chemin optique \(\delta\)

Au point \(M\) de l'écran, l'onde issue de \(S_2\) a parcouru \(d_2 = S_2M\) et celle issue de \(S_1\) a parcouru \(d_1 = S_1M\). On appelle différence de chemin optique (ou différence de marche) :

\[ \delta = d_2 - d_1 \]

Dans l'air (indice \(n \approx 1\)), le chemin optique est égal à la distance parcourue. Dans un milieu d'indice \(n\), le chemin optique d'une longueur \(d\) vaut \(n\,d\).

Expression de \(\delta\) en fonction de \(x\)

Avec \(O\) au milieu de l'écran et \(x\) l'abscisse de \(M\) :

Avec le théorème de Pythagore : \(d_2^2 = D^2 + \left(x + \dfrac{a}{2}\right)^2\) et \(d_1^2 = D^2 + \left(x - \dfrac{a}{2}\right)^2\).

Par différence : \(d_2^2 - d_1^2 = \left(x + \dfrac{a}{2}\right)^2 - \left(x - \dfrac{a}{2}\right)^2 = 2\,a\,x\).

On factorise : \((d_2 - d_1)(d_2 + d_1) = 2\,a\,x\).

L'écran est loin (\(a \ll D\) et \(x \ll D\)), donc \(d_1 \approx d_2 \approx D\) et \(d_1 + d_2 \approx 2D\).

Conclusion : \[ \delta = d_2 - d_1 = \frac{a\,x}{D} \]

Frange brillante ou frange sombre ?

On compare \(\delta\) à la longueur d'onde \(\lambda\) grâce à l'ordre d'interférence \(p = \dfrac{\delta}{\lambda}\) :

Frange brillante (interférence constructive) : \(\delta = k\,\lambda\), avec \(k\) entier relatif, donc \(p\) est un entier.
Frange sombre (interférence destructive) : \(\delta = \left(k + \dfrac{1}{2}\right)\lambda\), donc \(p\) est un demi-entier (\(0{,}5\) ; \(1{,}5\) ; \(2{,}5\)…).

flowchart LR
A[Calculer delta] --> B[Calculer p egal delta sur lambda]
B --> C{p entier ?}
C -- oui --> D[Frange brillante]
C -- non --> E{p demi entier ?}
E -- oui --> F[Frange sombre]
E -- non --> G[Zone intermediaire]

En un point M, \(\delta = 1{,}5\,\lambda\). Que voit-on en M ?

Une frange brillante
Une frange sombre
La frange centrale

\(p = 1{,}5\) est un demi-entier : les deux ondes arrivent en opposition de phase, elles s'annulent. C'est une frange sombre.

3. L'interfrange \(i\)

L'interfrange \(i\) est la distance entre les centres de deux franges brillantes consécutives (c'est aussi la distance entre deux franges sombres consécutives).

Frange brillante d'ordre \(k\) : \(\dfrac{a\,x_k}{D} = k\,\lambda\), donc \(x_k = k\,\dfrac{\lambda D}{a}\).

Frange brillante suivante : \(x_{k+1} = (k+1)\,\dfrac{\lambda D}{a}\).

Écart : \[ i = x_{k+1} - x_k = \frac{\lambda\,D}{a} \]

Manipule : fais varier \(\lambda\), \(D\) et \(a\)

La courbe montre l'éclairement sur l'écran en fonction de \(x\) (en mm). Les curseurs : \(l\) est la longueur d'onde en nm, \(D\) la distance en m, \(a\) l'écart des fentes en mm. Observe l'écart entre deux pics : c'est l'interfrange.

Avec les valeurs de départ (\(\lambda = 600\) nm, \(D = 2\) m, \(a = 0{,}5\) mm), les pics sont espacés de \(2{,}4\) mm. Diminue \(a\) : les franges s'écartent. Passe de 400 nm (violet) à 800 nm (rouge) : elles s'écartent aussi.

On double la distance D entre les fentes et l'écran, sans rien changer d'autre. L'interfrange :

double
est divisée par deux
ne change pas

\(i = \dfrac{\lambda D}{a}\) est proportionnelle à \(D\) : si \(D\) double, \(i\) double.

On rapproche les deux fentes (a plus petit). Les franges :

se resserrent
gardent le même écart
s'écartent

\(a\) est au dénominateur : si \(a\) diminue, \(i\) augmente, les franges s'écartent.

4. Exemples résolus

Voir la solution

On convertit tout en mètres : \(\lambda = 600 \times 10^{-9}\) m et \(a = 0{,}5 \times 10^{-3}\) m.

\[ i = \frac{\lambda D}{a} = \frac{600 \times 10^{-9} \times 2}{0{,}5 \times 10^{-3}} = 2{,}4 \times 10^{-3}\ \text{m} = 2{,}4\ \text{mm} \]

Différence de marche : \(\delta = \dfrac{a\,x}{D} = \dfrac{0{,}5 \times 10^{-3} \times 3{,}6 \times 10^{-3}}{2} = 9{,}0 \times 10^{-7}\) m, soit \(900\) nm.

Ordre d'interférence : \(p = \dfrac{\delta}{\lambda} = \dfrac{900}{600} = 1{,}5\).

\(p\) est un demi-entier : M est sur une frange sombre. Vérification : \(\dfrac{x}{i} = \dfrac{3{,}6}{2{,}4} = 1{,}5\).

Voir la solution

Interfrange : \(i = \dfrac{12}{10} = 1{,}2\) mm \(= 1{,}2 \times 10^{-3}\) m (mesurer 10 interfranges réduit l'erreur de mesure).

\[ \lambda = \frac{i\,a}{D} = \frac{1{,}2 \times 10^{-3} \times 0{,}6 \times 10^{-3}}{1{,}5} = 4{,}8 \times 10^{-7}\ \text{m} = 480\ \text{nm} \]

C'est une lumière bleue.

Avec \(i = 2{,}4\) mm, à quelle distance du centre se trouve la 3e frange brillante (k = 3) ?

2,4 mm
7,2 mm
6,0 mm

\(x_3 = 3\,i = 3 \times 2{,}4 = 7{,}2\) mm.

5. Erreurs fréquentes

On mesure 9 mm entre la frange brillante centrale et la 6e frange brillante du même côté. L'interfrange vaut :

1,5 mm
1,8 mm
1,29 mm

La frange centrale est d'ordre 0 et la 6e d'ordre 6 : il y a 6 interfranges, donc \(i = \dfrac{9}{6} = 1{,}5\) mm.

Récapitulatif

Différence de chemin optique : \(\delta = d_2 - d_1 = \dfrac{a\,x}{D}\).
Frange brillante : \(\delta = k\,\lambda\) ; frange sombre : \(\delta = \left(k + \dfrac{1}{2}\right)\lambda\).
Ordre d'interférence : \(p = \dfrac{\delta}{\lambda} = \dfrac{x}{i}\).
Interfrange : \(i = \dfrac{\lambda D}{a}\), d'où \(\lambda = \dfrac{i\,a}{D}\).

Différence de chemin optique \(\delta\)

\(\delta = d_2 - d_1 = \dfrac{a\,x}{D}\) (fentes de Young, écran lointain)

Frange brillante

\(\delta = k\,\lambda\) : l'ordre \(p\) est entier

Frange sombre

\(\delta = \left(k + \dfrac{1}{2}\right)\lambda\) : l'ordre \(p\) est demi-entier

Interfrange \(i\)

Distance entre deux franges brillantes consécutives : \(i = \dfrac{\lambda D}{a}\)

Sources cohérentes

Même fréquence et déphasage constant : obtenues à partir d'une source unique