Objectifs

• Associer à une équation \(ax + by = c\) une droite du plan.
• Tracer les deux droites d'un système dans un repère.
• Lire la solution comme les coordonnées du point d'intersection, puis la vérifier par le calcul.
• Reconnaître les cas sans solution (droites parallèles) et à infinité de solutions (droites confondues).

1. Une équation, une droite

L'ensemble des points \(M(x\,;\,y)\) qui vérifient \(ax + by = c\) (avec \(a\) et \(b\) non tous les deux nuls) est une droite.

• Si \(b \neq 0\), on isole \(y\) : on obtient une équation réduite \(y = mx + p\), avec \(m\) le coefficient directeur et \(p\) l'ordonnée à l'origine.
• Si \(b = 0\), l'équation devient \(x = \dfrac{c}{a}\) : c'est une droite verticale.

2. La solution est le point d'intersection

Exemple résolu 1 : construction pas à pas

Résoudre graphiquement \(\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases}\). Avance étape par étape.

On vérifie par le calcul : \(2 + 3 = 5\) et \(2 \times 2 - 3 = 1\). La solution du système est \((2\,;\,3)\).

3. Les trois positions possibles

flowchart TD
  A[Deux droites du systeme] --> B{Coefficients directeurs egaux}
  B -- Non --> C[Secantes : une seule solution]
  B -- Oui --> D{Ordonnees a l origine egales}
  D -- Non --> E[Paralleles : aucune solution]
  D -- Oui --> F[Confondues : infinite de solutions]

• Sécantes (coefficients directeurs différents) : un seul point commun, une solution.
• Strictement parallèles (même coefficient directeur, ordonnées à l'origine différentes) : aucune solution.
• Confondues (même équation réduite) : tous les points sont communs, infinité de solutions.

Manipule : la droite rouge \(y = 5 - x\) est fixe ; la droite bleue \(y = mx + p\) dépend des curseurs. Place \(m = 2\) et \(p = -1\) (sécantes en \((2\,;\,3)\)), puis \(m = -1\) et \(p = 2\) (parallèles), puis \(m = -1\) et \(p = 5\) (confondues).

Exemple résolu 2 : droites parallèles

Combien de solutions a \(\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x + 2y = 4 \end{cases}\) ? Cherche d'abord.

Exemple résolu 3 : droites confondues

Combien de solutions a \(\begin{cases} x + y = 5 \\ 3x + 3y = 15 \end{cases}\) ? Cherche d'abord.

4. Interpréter un problème concret

On note \(x\) le nombre de minutes par mois et \(y\) le prix payé en F CFA :

Cherche le point d'intersection, puis interprète-le.

Avec le curseur, change le prix par minute \(a\) de l'offre A : le point d'intersection se déplace, et donc le nombre de minutes à partir duquel A devient intéressante.

Erreurs fréquentes

• Donner une lecture graphique approchée comme valeur exacte sans la vérifier par le calcul.
• Inverser les coordonnées : le couple s'écrit \((x\,;\,y)\), abscisse d'abord.
• Croire que des droites qui semblent ne pas se croiser sur la feuille sont parallèles : il faut comparer les coefficients directeurs.
• Oublier de mettre chaque équation sous forme réduite avant de comparer les coefficients.
• Conclure « pas de solution » pour des droites confondues, qui ont au contraire une infinité de solutions.

Récapitulatif

• Chaque équation \(ax + by = c\) est une droite.
• La solution du système est le couple des coordonnées du point d'intersection.
• Sécantes : une solution ; parallèles : aucune ; confondues : une infinité.
• Unique solution si et seulement si \(ab' - a'b \neq 0\).
• La lecture graphique se confirme toujours par le calcul.