Interprétation graphique : lire et interpréter le point d'intersection dans des situations concrètes

Quand deux grandeurs de la vie courante sont représentées par deux droites, leur point d'intersection est le moment où elles deviennent égales ; de part et d'autre de ce point, la droite la plus basse indique la valeur la plus petite.

Objectifs

Modéliser une situation concrète par deux équations de droites.
Tracer les deux droites, lire leur point d'intersection et lui donner un sens (seuil, rencontre, équilibre).
Comparer deux situations en regardant quelle droite est au-dessus de l'autre.
Prévoir le nombre de solutions grâce aux coefficients directeurs, y compris quand un paramètre change.
Traiter le cas d'une droite verticale \(x = k\).

1. De la situation aux deux droites

Si \(x\) est le nombre de chaises et \(y\) le prix payé en F CFA :

\[\text{Loueur A : } y = 200x + 5000 \qquad \text{Loueur B : } y = 300x.\]

Chaque formule est une équation de droite \(y = mx + p\) : \(m\) (le prix par chaise) est le coefficient directeur, \(p\) (les frais fixes) est l'ordonnée à l'origine. Chercher le nombre de chaises pour lequel les deux prix sont égaux revient à résoudre le système

\[\begin{cases} y = 200x + 5000 \\ y = 300x \end{cases}\]

Sa solution est le point d'intersection des deux droites.

flowchart LR
  A[Nommer x et y] --> B[Ecrire les deux equations]
  B --> C[Tracer les deux droites]
  C --> D[Lire le point commun]
  D --> E[Verifier par le calcul]
  E --> F[Interpreter en phrase]

Exemple résolu 1 : le point d'équilibre des deux loueurs

Observe la construction, puis cherche le point d'intersection par le calcul avant d'ouvrir la solution.

Droite A : elle part de 5 000 F (les frais fixes) et monte de 200 F par chaise.

Droite B : elle part de 0 et monte plus vite, de 300 F par chaise.

Les deux droites se coupent en un point dont on lit l'abscisse 50 et l'ordonnée 15 000.

Voir la solution

Au point commun, les deux prix sont égaux : \(300x = 200x + 5000 \iff 100x = 5000 \iff x = 50\).

Puis \(y = 300 \times 50 = 15000\). Vérification avec A : \(200 \times 50 + 5000 = 15000\).

Interprétation : pour 50 chaises, les deux loueurs coûtent la même somme, 15 000 F.

Pour 30 chaises, quel loueur est le moins cher ?

Le loueur A
Le loueur B
Les deux coûtent la même somme

A : \(200 \times 30 + 5000 = 11000\) F ; B : \(300 \times 30 = 9000\) F. Avant 50 chaises, la droite B est en dessous de la droite A : B est moins cher.

2. Au-dessus, en dessous : comparer grâce au graphique

Pour une même abscisse \(x\), la droite la plus basse donne la plus petite valeur de \(y\). Ainsi :

à gauche du point d'intersection (\(x < 50\)), la droite B est en dessous : B est moins cher ;
à droite (\(x > 50\)), la droite A est en dessous : A est moins cher.

Par le calcul : A est moins cher quand \(200x + 5000 < 300x\), c'est-à-dire \(5000 < 100x\), soit \(x > 50\). Le graphique et l'inéquation disent la même chose.

Exemple résolu 2 : la rencontre de deux cyclistes

Ali quitte son village à vélo et roule à 15 km/h. Au même moment, Bintou part d'un autre village situé à 40 km et roule vers lui à 10 km/h, sur la même route. On note \(t\) le temps en heures et \(d\) la distance au village d'Ali, en km. Quand et où se rencontrent-ils ? Cherche d'abord les deux équations.

Ali : \(d = 15t\) (il s'éloigne de son village). Bintou : \(d = 40 - 10t\) (elle part de 40 km et se rapproche).

Graphiquement, la droite d'Ali monte et celle de Bintou descend : elles se coupent forcément. On lit un point proche de \((1{,}6 ; 24)\).

Par le calcul : \(15t = 40 - 10t \iff 25t = 40 \iff t = 1{,}6\). Puis \(d = 15 \times 1{,}6 = 24\). Vérification : \(40 - 10 \times 1{,}6 = 24\).

Interprétation : \(1{,}6\) h \(= 1\) h \(+ 0{,}6 \times 60\) min \(= 1\) h 36 min. Ils se rencontrent après 1 h 36 min, à 24 km du village d'Ali.

Que signifie le point d'intersection \((1{,}6 ; 24)\) dans l'exemple des cyclistes ?

Ali et Bintou se rencontrent après 1,6 h, à 24 km du village d'Ali.
Ali et Bintou ont parcouru chacun 24 km.
Ali et Bintou se rencontrent après 1 h 6 min.

L'abscisse est le temps (1,6 h, soit 1 h 36 min) et l'ordonnée la distance au village d'Ali (24 km). Bintou, elle, n'a parcouru que \(40 - 24 = 16\) km.

3. Prévoir le nombre de solutions, même avec un paramètre

Pour deux droites \(y = mx + p\) et \(y = m'x + p'\) :

si \(m \neq m'\), elles sont sécantes : une seule solution ;
si \(m = m'\) et \(p \neq p'\), elles sont strictement parallèles : aucune solution ;
si \(m = m'\) et \(p = p'\), elles sont confondues : une infinité de solutions.

Fais varier \(m\) et \(p\) : la droite rouge \(y = 3x - 2\) reste fixe. Que se passe-t-il quand \(m = 3\) ?

Exemple résolu 3 : un système qui dépend d'un paramètre

On considère \(\begin{cases} mx - y = -1 \\ 3x - y = 2 \end{cases}\), où \(m\) est un nombre réel. Pour quelles valeurs de \(m\) le système a-t-il une seule solution ? Résous-le pour \(m = 1\). Cherche d'abord.

Voir la solution

On écrit les équations réduites : \(y = mx + 1\) et \(y = 3x - 2\).

Si \(m \neq 3\) : coefficients directeurs différents, droites sécantes, une seule solution.
Si \(m = 3\) : même coefficient directeur, ordonnées à l'origine 1 et \(-2\) différentes : droites strictement parallèles, aucune solution.

Pour \(m = 1\) : \(x + 1 = 3x - 2 \iff 3 = 2x \iff x = \dfrac{3}{2}\), puis \(y = \dfrac{3}{2} + 1 = \dfrac{5}{2}\).

Vérification : \(3 \times \dfrac{3}{2} - \dfrac{5}{2} = \dfrac{9 - 5}{2} = 2\). Donc \(S = \left\{\left(\dfrac{3}{2} ; \dfrac{5}{2}\right)\right\}\).

Exemple résolu 4 : une droite verticale

Résous graphiquement \(\begin{cases} x = -1 \\ y = 2x + 4 \end{cases}\). Cherche d'abord.

\(x = -1\) n'est pas de la forme \(y = mx + p\) : c'est la droite verticale formée de tous les points d'abscisse \(-1\).

La droite \(y = 2x + 4\) n'est pas verticale : elle coupe forcément la droite \(x = -1\) en un seul point.

Ce point a pour abscisse \(-1\) et pour ordonnée \(y = 2 \times (-1) + 4 = 2\). Donc \(S = \{(-1 ; 2)\}\).

Pour quelle valeur de \(m\) les droites \(y = 2x + 1\) et \(y = mx - 3\) n'ont-elles aucun point commun ?

\(m = 2\)
\(m = -2\)
\(m = \dfrac{1}{2}\)

Avec \(m = 2\), les deux droites ont le même coefficient directeur et des ordonnées à l'origine différentes (1 et \(-3\)) : elles sont strictement parallèles. Pour toute autre valeur, elles se coupent.

Quelle est la solution du système \(\begin{cases} x = 3 \\ x + y = 5 \end{cases}\) ?

\((2 ; 3)\)
Il n'y a pas de solution.
\((3 ; 2)\)

Le point commun a pour abscisse 3 ; alors \(y = 5 - 3 = 2\). Attention à l'ordre : on écrit d'abord \(x\), puis \(y\).

Erreurs fréquentes

Oublier l'unité ou le sens : « \(x = 50\) » ne suffit pas, on écrit « pour 50 chaises, les deux prix sont égaux à 15 000 F ».
Inverser abscisse et ordonnée : le point se lit \((x ; y)\), d'abord sur l'axe horizontal.
Croire que la droite la plus haute est la « meilleure » : pour un prix, c'est la plus basse qui est la moins chère.
Mal convertir les heures décimales : \(1{,}6\) h \(= 1\) h 36 min.
Prendre une lecture graphique pour une valeur exacte : on confirme toujours par le calcul.
Oublier les droites verticales : \(x = k\) est une droite, même si elle ne s'écrit pas \(y = mx + p\).

Récapitulatif

Une situation à deux grandeurs liées se traduit par deux droites ; le système se résout en cherchant leur point commun.
Le point d'intersection a un sens concret : seuil, équilibre, rencontre.
De part et d'autre de ce point, la droite la plus basse donne la plus petite valeur.
Coefficients directeurs différents : une solution ; égaux : aucune ou une infinité selon les ordonnées à l'origine.
Une droite verticale \(x = k\) coupe toute droite non verticale en un seul point.

Point d'intersection

Le couple \((x ; y)\) qui vérifie les deux équations : le moment où les deux grandeurs sont égales.

Droite la plus basse

Pour une même abscisse, elle donne la plus petite valeur de \(y\).

\(m \neq m'\)

Droites sécantes : une seule solution.

\(m = m'\) et \(p \neq p'\)

Droites strictement parallèles : aucune solution.

Droite \(x = k\)

Droite verticale : tous les points d'abscisse \(k\).