Dans l’espace, substituer et vérifier les coordonnées permet de prouver les positions relatives.

Intersections et positions relatives

Objectifs

Résoudre une intersection droite-plan.
Comparer deux plans.
Distinguer droites sécantes, parallèles, confondues et gauches.

Une droite et un plan : substituer

Dans un repère de l’espace, un plan a une équation \(ax+by+cz=d\), avec \((a,b,c)\ne(0,0,0)\). Une droite s’écrit \((x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+t(u,v,w)\), avec un vecteur directeur non nul. Substitue les coordonnées de la droite dans le plan : tu obtiens une équation en \(t\). Une solution donne un point commun ; une égalité impossible donne une intersection vide ; une identité pour tout paramètre signifie que la droite est incluse dans le plan.

Exercice fictif : \(P:x+y+z=3\) et \(d:(x,y,z)=(t,1,t)\). Trouve leur intersection.

Voir la solution après avoir cherché

La substitution donne \(t+1+t=3\), donc \(2t=2\) et \(t=1\).

Le point obtenu est \(A(1,1,1)\).

Il appartient à la droite et vérifie \(1+1+1=3\) : l’intersection est \(\{A\}\).

Après substitution, une identité est vraie pour tout paramètre. Que conclure ?

La droite est incluse dans le plan
Le plan est vide
La droite coupe le plan en un seul point

Chaque point de la droite satisfait alors l’équation du plan.

Deux plans : comparer les normales

Le vecteur \((a,b,c)\) est normal au plan \(ax+by+cz=d\). Deux normales non colinéaires donnent deux plans sécants suivant une droite. Si les normales sont colinéaires, compare aussi les constantes : les équations proportionnelles décrivent le même plan ; sinon les plans sont parallèles distincts. Un déterminant d’ordre deux non nul formé avec deux composantes suffit à prouver que deux normales ne sont pas colinéaires.

Exercice fictif : \(P:x+y+z=3\), \(Q:x-y=1\). Paramètre leur intersection.

Voir la solution après avoir cherché

Les normales sont \((1,1,1)\) et \((1,-1,0)\). Le déterminant \(1\times(-1)-1\times1=-2\) est non nul : elles ne sont pas colinéaires.

Pose \(y=t\). L’équation de \(Q\) donne \(x=1+t\).

Puis \(z=3-x-y=2-2t\). La droite commune est \((x,y,z)=(1+t,t,2-2t)\), pour \(t\in\mathbb R\).

Les équations d’un plan sont multipliées entièrement par un même nombre non nul. Le plan change-t-il ?

Multiplier les deux membres par un nombre non nul conserve l’ensemble des solutions.

Deux droites : un système à vérifier

Pour chercher une intersection de deux droites paramétrées, utilise un paramètre différent pour chacune, puis égale leurs trois coordonnées. Des directions colinéaires imposent de distinguer droites parallèles distinctes et confondues. Des directions non colinéaires ne garantissent pas une intersection dans l’espace : les droites peuvent être gauches, donc non coplanaires.

Exercice fictif : \(d_1:(t,0,0)\) et \(d_2:(0,s,1)\). Sont-elles sécantes ?

Voir la solution après avoir cherché

L’égalité des premières coordonnées impose \(t=0\), et celle des deuxièmes impose \(s=0\).

Les troisièmes coordonnées imposeraient \(0=1\), ce qui est impossible.

Les directions \((1,0,0)\) et \((0,1,0)\) ne sont pas colinéaires. Les droites sont donc gauches, non parallèles et sans point commun.

Deux droites non parallèles dans l’espace sont-elles toujours sécantes ?

Elles peuvent être gauches. La troisième coordonnée est indispensable au contrôle.

Erreurs fréquentes

Résumé

Comparer les directions oriente la méthode ; résoudre les équations et vérifier chaque coordonnée établit la conclusion.

Cartes mémo

Réponds avant de retourner chaque carte.

Droite-plan

Substitution : une solution, aucune, ou une identité.

Normale

Vecteur perpendiculaire au plan.

Plans sécants

Normales non colinéaires ; intersection suivant une droite.

Plans confondus

Équations entièrement proportionnelles.

Droites gauches

Droites non coplanaires, sans intersection.