L'énergie mécanique : travail et conversion
L'énergie mécanique : travail et conversion
Le travail d'une force, c'est l'énergie qu'elle « verse » ou « retire » à un objet quand il se déplace ; l'énergie mécanique (cinétique + potentielle) se conserve sans frottement, et les frottements la convertissent en chaleur.
Objectifs
- Calculer le travail d'une force constante : \(W_{AB}(\vec{F}) = \vec{F}\cdot\overrightarrow{AB} = F \times AB \times \cos\alpha\).
- Distinguer travail moteur, travail résistant et travail nul.
- Calculer le travail du poids et celui d'une force de frottement constante.
- Appliquer le théorème de l'énergie cinétique.
- Utiliser l'énergie mécanique \(E_m = E_c + E_{pp}\) : conservation sans frottement, diminution avec frottements et conversion en énergie thermique.
1. Le travail d'une force constante
Un objet se déplace en ligne droite de \(A\) à \(B\) et subit une force constante \(\vec{F}\) qui fait un angle \(\alpha\) avec le déplacement \(\overrightarrow{AB}\). Le travail de \(\vec{F}\) est le produit scalaire :
\[ W_{AB}(\vec{F}) = \vec{F}\cdot\overrightarrow{AB} = F \times AB \times \cos\alpha \]avec \(F\) en newtons (N), \(AB\) en mètres (m) et \(W\) en joules (J).
Moteur, résistant ou nul ?
- \(0^\circ \le \alpha \lt 90^\circ\) : \(\cos\alpha > 0\), donc \(W > 0\) : travail moteur (la force aide le mouvement).
- \(\alpha = 90^\circ\) : \(\cos\alpha = 0\), donc \(W = 0\) : la force est perpendiculaire au déplacement, elle ne travaille pas.
- \(90^\circ \lt \alpha \le 180^\circ\) : \(\cos\alpha \lt 0\), donc \(W \lt 0\) : travail résistant (la force freine).
Fais varier l'angle \(\alpha\) (en abscisse, en degrés), la force \(F\) et la distance \(d\) : observe quand le travail devient nul puis négatif.
Exemple résolu : la charrette de Kofi
Kofi tire sa charrette avec une force constante \(F = 200\ \text{N}\) inclinée de \(\alpha = 30^\circ\) au-dessus de l'horizontale, sur \(AB = 50\ \text{m}\). Calcule le travail de sa force. Cherche d'abord.
Un porteur marche à vitesse constante sur un sol horizontal avec un sac posé sur la tête. Quel est le travail de la force qu'il exerce verticalement sur le sac ?
2. Travail du poids et travail des frottements
Le travail du poids
Le poids \(\vec{P} = m\vec{g}\) est vertical, vers le bas. Avec un axe \(Oz\) vertical orienté vers le haut, pour un déplacement de \(A\) (altitude \(z_A\)) à \(B\) (altitude \(z_B\)) :
\[ W_{AB}(\vec{P}) = m\,g\,(z_A - z_B) \]Ce travail ne dépend pas du chemin suivi, seulement des altitudes de départ et d'arrivée : on dit que le poids est une force conservative.
- L'objet descend (\(z_A > z_B\)) : \(W > 0\), travail moteur.
- L'objet monte (\(z_A \lt z_B\)) : \(W \lt 0\), travail résistant.
Le travail d'une force de frottement constante
Une force de frottement \(\vec{f}\) de valeur constante est toujours opposée au mouvement (\(\alpha = 180^\circ\)). Sur un trajet rectiligne de longueur \(AB\) :
\[ W_{AB}(\vec{f}) = -f \times AB \]Ce travail est toujours résistant et il dépend de la longueur du chemin : le frottement n'est pas une force conservative.
Exemple résolu : le seau d'Aïcha
Le seau plein a une masse \(m = 12\ \text{kg}\). Aïcha le remonte du fond du puits, à \(15\ \text{m}\) sous le sol, jusqu'au niveau du sol, à vitesse constante. On prend \(g = 9{,}8\ \text{N/kg}\). Calcule le travail du poids. Cherche d'abord.
Voir la solution
On place l'origine au niveau du sol : \(z_A = -15\ \text{m}\) (fond) et \(z_B = 0\ \text{m}\).
\[ W_{AB}(\vec{P}) = m\,g\,(z_A - z_B) = 12 \times 9{,}8 \times (-15 - 0) = -1764\ \text{J} \]Le travail est négatif : le poids est résistant pendant la montée. Comme la vitesse est constante, Aïcha fournit un travail de \(+1764\ \text{J}\), soit environ \(1{,}8\ \text{kJ}\).
Un ballon passe de \(z_A = 2\ \text{m}\) à \(z_B = 8\ \text{m}\) puis retombe à \(z_C = 2\ \text{m}\). Quel est le travail total du poids entre \(A\) et \(C\) ?
3. Le théorème de l'énergie cinétique
L'énergie cinétique d'un objet de masse \(m\) (en kg) et de vitesse \(v\) (en m/s) est :
\[ E_c = \frac{1}{2}\,m\,v^2 \quad (\text{en J}) \]Théorème de l'énergie cinétique : dans un référentiel galiléen, la variation d'énergie cinétique d'un solide entre \(A\) et \(B\) est égale à la somme des travaux des forces qui s'exercent sur lui :
\[ \Delta E_c = E_c(B) - E_c(A) = \sum W_{AB}(\vec{F}) \]Exemple résolu : freinage d'un cycliste
Moussa et son vélo ont une masse totale \(m = 80\ \text{kg}\). Il roule à \(v = 5{,}0\ \text{m/s}\) sur une route plate de Ouagadougou et freine jusqu'à l'arrêt sur \(10\ \text{m}\). On suppose la force de freinage \(f\) constante. Calcule \(f\).
Si la vitesse d'un véhicule double, son énergie cinétique est multipliée par…
4. Énergie mécanique : conservation et conversion
L'énergie potentielle de pesanteur d'un objet à l'altitude \(z\) (axe vertical vers le haut) est :
\[ E_{pp} = m\,g\,z \](elle dépend du choix de l'origine des altitudes, où \(E_{pp} = 0\)). L'énergie mécanique est la somme :
\[ E_m = E_c + E_{pp} = \frac{1}{2}\,m\,v^2 + m\,g\,z \]Sans frottement : l'énergie mécanique se conserve
Si le solide n'est soumis qu'à son poids (ou à des forces qui ne travaillent pas), alors \(\Delta E_m = 0\) : ce que l'objet perd en énergie potentielle, il le gagne en énergie cinétique, et inversement.
Dans le graphique, \(x\) est l'altitude de la mangue (en m), \(h\) la hauteur de départ et \(m\) sa masse. Les trois courbes donnent, pour \(0 \le x \le h\) : \(E_{pp}\) (croissante), \(E_c\) (décroissante) et \(E_m\) (horizontale). Change \(m\) et \(h\) : la somme reste constante.
Avec frottements : l'énergie mécanique diminue
La variation d'énergie mécanique est égale au travail des forces non conservatives (frottements) :
\[ \Delta E_m = W_{AB}(\vec{f}) \lt 0 \]L'énergie « perdue » ne disparaît pas : elle est convertie, surtout en énergie thermique (échauffement) et parfois en son.
flowchart LR A[Energie potentielle] -->|chute| B[Energie cinetique] B -->|frottements| C[Energie thermique] B -->|montee| A
Exemple résolu 1 : la mangue
Une mangue de masse \(m = 0{,}30\ \text{kg}\) tombe d'une branche située à \(h = 5{,}0\ \text{m}\) du sol, sans vitesse initiale. On néglige les frottements de l'air, \(g = 9{,}8\ \text{N/kg}\). Quelle est sa vitesse en touchant le sol ? Cherche d'abord.
Voir la solution
Origine des altitudes au sol. En haut : \(E_m = 0 + m\,g\,h = 0{,}30 \times 9{,}8 \times 5{,}0 = 14{,}7\ \text{J}\). Au sol : \(E_m = \frac{1}{2}\,m\,v^2 + 0\).
Conservation : \(\frac{1}{2}\,m\,v^2 = m\,g\,h\), donc
\[ v = \sqrt{2\,g\,h} = \sqrt{2 \times 9{,}8 \times 5{,}0} = \sqrt{98} \approx 9{,}9\ \text{m/s} \]La masse se simplifie : sans frottement, une mangue lourde et une légère arrivent à la même vitesse.
Exemple résolu 2 : le toboggan
Un enfant de \(30\ \text{kg}\) part sans vitesse du haut d'un toboggan de hauteur \(3{,}0\ \text{m}\) et de longueur \(5{,}0\ \text{m}\). En bas, sa vitesse vaut \(6{,}0\ \text{m/s}\). Quelle énergie a été convertie en chaleur ? Quelle est la force de frottement moyenne ?
Un ballon lancé vers le haut monte, sans frottement. Que devient son énergie mécanique pendant la montée ?
Une moto freine et s'arrête. En quelle forme principale son énergie cinétique est-elle convertie ?
Récapitulatif
- Travail d'une force constante : \(W_{AB}(\vec{F}) = F \times AB \times \cos\alpha\) ; moteur si \(W > 0\), résistant si \(W \lt 0\), nul si \(\alpha = 90^\circ\).
- Travail du poids : \(W_{AB}(\vec{P}) = m\,g\,(z_A - z_B)\), indépendant du chemin.
- Travail d'un frottement constant : \(W_{AB}(\vec{f}) = -f \times AB\), toujours résistant.
- Théorème de l'énergie cinétique : \(\Delta E_c = \sum W_{AB}(\vec{F})\).
- \(E_m = E_c + E_{pp}\) : constante sans frottement ; avec frottements, \(\Delta E_m = W(\vec{f})\) et l'énergie est convertie en énergie thermique.
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