La géométrie dans l'espace
La géométrie dans l'espace
La géométrie dans l'espace étudie les objets qui ont une longueur, une largeur et une hauteur : on apprend à les reconnaître, à les dessiner, à compter leurs faces et à calculer leur volume.
Objectifs
- Reconnaître et nommer les principaux solides : cube, pavé droit, prisme, pyramide, cylindre, cône, sphère.
- Compter les faces, les arêtes et les sommets d'un polyèdre.
- Lire et tracer un solide en perspective cavalière, comprendre un patron.
- Calculer des aires et des volumes dans des situations de la vie courante.
1. Du plan à l'espace
Une feuille de papier, c'est le plan : deux dimensions, longueur et largeur. Une boîte, c'est l'espace : il faut trois dimensions, longueur, largeur et hauteur. Analogie : un dessin de maison est en 2D, la maison où tu dors est en 3D.
Un solide est une partie de l'espace limitée par des surfaces. On distingue deux grandes familles :
- les polyèdres : toutes leurs faces sont plates et sont des polygones (cube, pavé, prisme, pyramide) ;
- les solides de révolution : ils ont au moins une surface arrondie, obtenue en faisant tourner une figure autour d'un axe (cylindre, cône, sphère).
flowchart TD S[Solides] --> P[Polyèdres faces plates] S --> R[Solides de révolution surfaces courbes] P --> C[Cube] P --> PV[Pavé droit] P --> PR[Prisme droit] P --> PY[Pyramide] R --> CY[Cylindre] R --> CO[Cône] R --> SP[Sphère]
Lequel de ces objets n'est pas un polyèdre ?
2. Faces, arêtes, sommets
- Une face est une surface plane qui limite le solide.
- Une arête est un segment où deux faces se rencontrent.
- Un sommet est un point où plusieurs arêtes se rencontrent.
Place chaque mot sur le pavé droit dessiné en perspective (l'arête en pointillés est cachée derrière).
La relation d'Euler
Pour tout polyèdre « sans trou » (convexe), si \(S\) est le nombre de sommets, \(A\) le nombre d'arêtes et \(F\) le nombre de faces :
\[ S - A + F = 2 \]| Solide | \(S\) | \(A\) | \(F\) | \(S-A+F\) |
|---|---|---|---|---|
| Cube | 8 | 12 | 6 | 2 |
| Pyramide à base carrée | 5 | 8 | 5 | 2 |
| Prisme à base triangulaire | 6 | 9 | 5 | 2 |
Un polyèdre a 6 sommets et 5 faces. Combien a-t-il d'arêtes ?
3. Représenter un solide : perspective et patron
La perspective cavalière
Règles : la face avant est dessinée en vraie grandeur ; les arêtes « qui s'enfoncent » (les fuyantes) sont tracées en oblique, souvent réduites de moitié ; deux arêtes parallèles dans la réalité restent parallèles sur le dessin ; les arêtes cachées sont en pointillés.
On trace la face avant en vraie grandeur : un carré.
Depuis trois sommets visibles, on trace des fuyantes obliques, toutes parallèles et de même longueur.
On relie leurs extrémités : on obtient les arêtes visibles de la face arrière.
On trace en pointillés les trois arêtes cachées derrière le cube.
Le patron
Un patron est la figure plane que l'on obtient en « dépliant » un solide, comme quand on ouvre et aplatit un carton. Le patron d'un cube est formé de 6 carrés ; celui d'un cylindre d'un rectangle et de deux disques.
De combien de faces est formé le patron d'une pyramide à base carrée ?
4. Aires et volumes
Le volume mesure la place occupée par un solide (en \(\text{cm}^3\), \(\text{m}^3\)…). L'aire mesure la surface de son enveloppe (en \(\text{cm}^2\), \(\text{m}^2\)…). Analogie : le volume, c'est la quantité de riz qu'on peut verser dans la boîte ; l'aire, c'est la quantité de papier cadeau pour l'emballer.
| Solide | Volume |
|---|---|
| Cube d'arête \(a\) | \(V = a^3\) |
| Pavé droit | \(V = L \times \ell \times h\) |
| Prisme droit, cylindre | \(V = \mathcal{B} \times h\) ; cylindre : \(V = \pi r^2 h\) |
| Pyramide, cône | \(V = \dfrac{1}{3}\,\mathcal{B} \times h\) ; cône : \(V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h\) |
| Boule de rayon \(r\) | \(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\) |
\(\mathcal{B}\) désigne l'aire de la base et \(h\) la hauteur. Aire de la sphère : \(4\pi r^2\).
Joue avec la citerne
La courbe donne le volume \(V = \pi r^2 h\) (en \(\text{m}^3\)) en fonction de la hauteur \(h\) (axe horizontal, en m). Bouge le curseur du rayon \(r\) : que se passe-t-il quand on double le rayon ?
Voir la réponse
Quand le rayon double, le volume est multiplié par \(2^2 = 4\) (la droite devient 4 fois plus raide). Quand la hauteur double, le volume est seulement multiplié par 2.
Un cône et un cylindre ont la même base et la même hauteur. Le cylindre contient 900 L. Combien contient le cône ?
Exemples résolus
Exemple 1 : la citerne de Fatou
La citerne est un cylindre de rayon \(1\ \text{m}\) et de hauteur \(2\ \text{m}\). Combien de litres contient-elle quand elle est pleine ? (On prend \(\pi \approx 3{,}14\).)
Exemple 2 : la brique de terre
Une brique a la forme d'un pavé droit de \(20\ \text{cm}\) sur \(10\ \text{cm}\) sur \(5\ \text{cm}\). Calcule son volume en litres.
Voir la solution
\[ V = 20 \times 10 \times 5 = 1000\ \text{cm}^3 = 1\ \text{dm}^3 = 1\ \text{L} \]Une brique occupe la même place qu'un litre d'eau.
Exemple 3 : le grenier en pyramide
Le toit d'un grenier a la forme d'une pyramide à base carrée de \(6\ \text{m}\) de côté et de \(4\ \text{m}\) de hauteur. Quel est son volume ?
Exemple 4 : le ballon
Un ballon de football a un rayon d'environ \(11\ \text{cm}\). Donne son volume, arrondi au litre.
Voir la solution
\[ V = \frac{4}{3}\pi \times 11^3 = \frac{4}{3}\pi \times 1331 \approx 5575\ \text{cm}^3 \]Comme \(1\ \text{L} = 1000\ \text{cm}^3\), le ballon contient environ \(6\ \text{L}\) d'air.
Erreurs fréquentes
Un seau cylindrique a un diamètre de \(30\ \text{cm}\) et une hauteur de \(40\ \text{cm}\). Quel calcul donne son volume ?
Récapitulatif
- Un solide occupe l'espace dans trois dimensions : longueur, largeur, hauteur.
- Polyèdres (faces plates) et solides de révolution (surfaces courbes).
- Pour un polyèdre convexe : \(S - A + F = 2\).
- Perspective cavalière : face avant en vraie grandeur, fuyantes parallèles, arêtes cachées en pointillés.
- Prisme et cylindre : \(V = \mathcal{B} \times h\) ; pyramide et cône : \(V = \dfrac{1}{3}\,\mathcal{B} \times h\) ; boule : \(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\).
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