Une grandeur décroît de façon exponentielle : le nombre de noyaux radioactifs suit la loi \(N(t)=N_0e^{-\lambda t}\).

La loi de la décroissance radioactive

Objectif : comprendre et utiliser la loi \(N(t)=N_0e^{-\lambda t}\), relier activité et constante de désintégration, calculer une demi-vie et représenter graphiquement une décroissance.

1. Objectifs pédagogiques

Savoir écrire la loi de décroissance et la justifier mathématiquement.
Relier nombre de noyaux \(N(t)\), activité \(A(t)\) et constante de désintégration \(\lambda\).
Calculer la demi-vie \(t_{1/2}\) et l'activité initiale.
Interpréter et tracer une décroissance exponentielle.

2. Notions clés

Définition — loi de décroissance

On considère un ensemble de noyaux radioactifs. La probabilité qu'un noyau se désintègre pendant un court intervalle \(\mathrm{d}t\) est proportionnelle à \(\mathrm{d}t\). On obtient l'équation différentielle :

\[ \frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} = -\lambda N(t) \]

La solution, en posant \(N(0)=N_0\), est :

\[ N(t) = N_0\,e^{-\lambda t} \]

Activité

L'activité \(A(t)\) (nombre de désintégrations par seconde) est liée à \(N(t)\) par :

\[ A(t) = -\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} = \lambda N(t) \]

Donc \(A(t)\) décroît aussi exponentially :

\[ A(t) = A_0\,e^{-\lambda t} \quad\text{où}\quad A_0 = \lambda N_0. \]

Demi-vie et durée moyenne

La demi-vie \(t_{1/2}\) est le temps pour que la moitié des noyaux se soit désintégrée. En posant \(N(t_{1/2})=\tfrac{N_0}{2}\) :

Écrire la condition : \(\tfrac{N(t_{1/2})}{N_0}=\tfrac{1}{2}\).

Utiliser \(N(t)=N_0e^{-\lambda t}\) et simplifier :

On obtient \(e^{-\lambda t_{1/2}}=\tfrac{1}{2}\) donc \(t_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{\lambda}\).

La durée moyenne (temps de vie moyen) est \(\tau=\dfrac{1}{\lambda}\).

Question : si \(N(t)=N_0e^{-\lambda t}\), que vaut l'activité initiale \(A_0\) ?

\(A_0=\dfrac{N_0}{\lambda}\)
\(A_0=\lambda N_0\)
\(A_0=N_0 e^{-\lambda}\)

L'activité est \(A=-\dfrac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}=\lambda N\). À \(t=0\), \(A_0=\lambda N_0\).

3. Exemple résolu

Énoncé : un échantillon a une demi-vie \(t_{1/2}=10\ \mathrm{jours}\). On commence avec \(N_0=10^6\) noyaux. Combien en reste-t-il après 30 jours ?

Voir la solution

On peut procéder en deux façons : utiliser la demi-vie ou la constante \(\lambda\).

1) Calculer \(\lambda\) : \(t_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{\lambda}\) donc \(\lambda=\dfrac{\ln 2}{t_{1/2}}=\dfrac{\ln 2}{10\ \mathrm{jours}}\).

2) Appliquer \(N(t)=N_0e^{-\lambda t}\) avec \(t=30\ \mathrm{jours}\) :

3) En formule :

\[ \begin{align} N(30) &= 10^6\,e^{-\lambda\times 30} \\ &= 10^6\,e^{-\left(\dfrac{\ln 2}{10}\right)\times 30} \\ &= 10^6\,e^{-3\ln 2} = 10^6\,\left(e^{\ln 2}\right)^{-3} \\ &= 10^6\,2^{-3} = 10^6\times\dfrac{1}{8} = 125\;000. \end{align} \]

Après 1 demi-vie (10 jours), quelle fraction des noyaux reste-t-il ?

Par définition de la demi-vie, la moitié des noyaux reste après une demi-vie.

4. Représentation et visualisation

Tracer la courbe permet de bien voir la décroissance rapide puis la queue longue. On peut manipuler les paramètres avec le graphique interactif :

Quel type d'émission n'emporte pas de charge électrique du noyau ?

Alpha
Beta
Gamma

Les rayons gamma sont des photons (pas de charge) ; alpha et beta emportent respectivement une charge positive et négative.

5. Erreurs fréquentes

Confondre demi-vie et durée moyenne (cf. encadré warning ci-dessus).
Penser que la décroissance s'arrête : elle tend vers zéro mais n'atteint jamais exactement zéro mathématiquement.
Utiliser des unités incohérentes pour \(t\) et \(t_{1/2}\) (jours vs secondes) : convertir avant de calculer.

Si on convertit \(t_{1/2}=2\ \mathrm{heures}\) en secondes, quel est le bon \(t_{1/2}\) en s ?

3600 s
7200 s
120 s

2 heures = 2×3600 = 7200 secondes.

6. Récapitulatif

Formules essentielles :

\[ \frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}=-\lambda N(t), \quad N(t)=N_0e^{-\lambda t}, \quad A(t)=\lambda N(t), \quad t_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{\lambda}. \]

Cartes mémo

Loi de décroissance

\(N(t)=N_0e^{-\lambda t}\)

Activité

\(A(t)=\lambda N(t)\)

Demi-vie

\(t_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{\lambda}\)

Durée moyenne

\(\tau=\dfrac{1}{\lambda}\)