Introduction

En mathématiques, la loi des grands nombres est un principe fondamental qui relie la moyenne empirique d'une série de tirages à la moyenne théorique ou espérance, quand le nombre de tirages augmente.

Objectif

Voici l'idée : plus on répète une expérience aléatoire indépendamment, plus la moyenne de ces résultats se rapproche de la valeur espérée.

Expérience expérimentale

Supposons que nous avons un dé équilibré à six faces, avec une espérance théorique de :

\[ E = rac{1+2+3+4+5+6}{6} = 3,5 \]

Si l'on lance ce dé un grand nombre de fois, la moyenne des résultats tend à se rapprocher de 3,5.

Formulation expérimentale

Après \( n \) lancers, on calcule la moyenne empirique :

\[ M_n = rac{X_1 + X_2 + \dots + X_n}{n} \]

où \( X_i \) est le résultat du \( i \)-ième lancer.

La loi des grands nombres expérimentale affirme que :

\[ \lim_{n o \infty} M_n = E \]

c'est-à-dire que la moyenne empirique se stabilise autour de l'espérance lorsque \( n \) devient très grand.

Illustration par un exemple

1. On lance un dé 100 fois et calcule la moyenne.
2. On répète l'expérience avec 1000, 10 000, voire 100 000 lancers.
3. On observe que la moyenne se rapproche de \(\ 3,5 \).

Conclusion

La loi des grands nombres expérimentale montre que, pour des expériences répétées, la moyenne observée devient proche de la moyenne théorique, ce qui confirme la stabilité des résultats à long terme.