La puissance d'un nombre : définition et vocabulaire

Une puissance est une façon courte d'écrire une multiplication d'un même nombre par lui-même : \(2^3\) veut dire \(2 \times 2 \times 2\), soit \(8\).

Objectifs

Comprendre qu'une puissance remplace une multiplication répétée d'un même nombre.
Reconnaître et nommer la base et l'exposant.
Lire et écrire une puissance : « 2 exposant 3 », « 5 au carré », « 4 au cube ».
Calculer des puissances simples, en particulier les puissances de \(10\).
Ne pas confondre \(2^3\) (multiplication répétée) avec \(2 \times 3\).

1. Une multiplication répétée

Quand on multiplie plusieurs fois le même nombre, l'écriture devient vite longue. Imagine \(10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10\) : on risque d'oublier un facteur en recopiant. Les mathématiciens ont donc inventé une écriture courte : la puissance.

Notions clés

Exemples :

\[ 3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27 \qquad 2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32 \qquad 7^2 = 7 \times 7 = 49 \]

Que vaut \(4^2\) ?

\(8\)
\(16\)
\(6\)

\(4^2 = 4 \times 4 = 16\). Le résultat \(8\) correspond à \(4 \times 2\) : c'est l'erreur à éviter.

2. Le vocabulaire : base et exposant

Notions clés

Dans l'écriture \(a^n\) :

\(a\) s'appelle la base : c'est le nombre que l'on multiplie par lui-même ;
\(n\) s'appelle l'exposant : il est écrit en petit, en haut à droite, et indique le nombre de facteurs ;
\(a^n\) se lit « \(a\) exposant \(n\) » ou « \(a\) puissance \(n\) ».

Deux puissances ont un nom particulier, qui vient de la géométrie :

\(a^2\) se lit « \(a\) au carré » : c'est l'aire d'un carré de côté \(a\) ;
\(a^3\) se lit « \(a\) au cube » : c'est le volume d'un cube d'arête \(a\).

Écriture	Base	Exposant	Lecture	Produit	Valeur
\(6^2\)	\(6\)	\(2\)	6 au carré	\(6 \times 6\)	\(36\)
\(2^3\)	\(2\)	\(3\)	2 au cube	\(2 \times 2 \times 2\)	\(8\)
\(3^4\)	\(3\)	\(4\)	3 exposant 4	\(3 \times 3 \times 3 \times 3\)	\(81\)
\(1^5\)	\(1\)	\(5\)	1 exposant 5	\(1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1\)	\(1\)

Dans l'écriture \(9^5\), quel est l'exposant ?

\(5\)
\(9\)
\(45\)

L'exposant est le petit nombre écrit en haut à droite : \(5\). La base est \(9\), le nombre que l'on multiplie.

Comment écrire \(6 \times 6 \times 6 \times 6\) avec une puissance ?

\(6 \times 4\)
\(4^6\)
\(6^4\)

Le nombre répété est \(6\) (la base) et il y a \(4\) facteurs (l'exposant) : \(6^4\).

3. Puissance ou multiplication : ne pas confondre

Notions clés

\[ 2 \times 3 = 2 + 2 + 2 = 6 \qquad \text{mais} \qquad 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 \]

flowchart LR
  A[Addition répétée] -->|écriture courte| B[Multiplication]
  B -->|répétée| C[Multiplication répétée]
  C -->|écriture courte| D[Puissance]

Laquelle de ces égalités est vraie ?

\(3^2 = 6\)
\(2^4 = 4^2\)
\(2^3 = 3^2\)

\(2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16\) et \(4^2 = 4 \times 4 = 16\) : c'est un cas rare où les deux sont égaux. En revanche \(3^2 = 9\) et non \(6\), et \(2^3 = 8\) n'est pas égal à \(3^2 = 9\).

4. Les puissances de 10

Notions clés

Pour une puissance de \(10\), l'exposant donne le nombre de zéros après le \(1\) :

\begin{align} 10^2 &= 10 \times 10 = 100 \\ 10^3 &= 10 \times 10 \times 10 = 1\,000 \\ 10^4 &= 10\,000 \\ 10^6 &= 1\,000\,000 \quad \text{(un million)} \end{align}

Ainsi \(1\,000\,000\) F CFA s'écrit \(10^6\) F CFA.

Quelle est l'écriture de \(10^5\) ?

\(50\)
\(100\,000\)
\(10\,000\)

L'exposant \(5\) indique \(5\) zéros après le \(1\) : \(10^5 = 100\,000\). Le nombre \(10\,000\) a seulement \(4\) zéros, c'est \(10^4\).

Exemples résolus

Exemple 1 : calculer \(5^3\)

Cherche d'abord, puis déroule les étapes.

Étape 1 : la base est \(5\), l'exposant est \(3\) ; on écrit donc \(3\) facteurs égaux à \(5\) : \(5^3 = 5 \times 5 \times 5\).

Étape 2 : on calcule de gauche à droite : \(5 \times 5 = 25\).

Étape 3 : \(25 \times 5 = 125\). Donc \(5^3 = 125\).

Exemple 2 : écrire avec une puissance

Aïcha écrit \(7 \times 7 \times 7 \times 7 \times 7\). Comment l'écrire plus court ?

Voir la solution

Le nombre répété est \(7\) : c'est la base. On compte les facteurs : il y en a \(5\) : c'est l'exposant. Donc \(7 \times 7 \times 7 \times 7 \times 7 = 7^5\), qui se lit « 7 exposant 5 ».

Exemple 3 : comparer \(2^5\) et \(5^2\)

Étape 1 : \(2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2\). On calcule : \(4\), puis \(8\), puis \(16\), puis \(32\). Donc \(2^5 = 32\).

Étape 2 : \(5^2 = 5 \times 5 = 25\).

Étape 3 : \(32 > 25\), donc \(2^5 > 5^2\). Échanger la base et l'exposant change le résultat.

Exemple 4 : le carrelage de la cour

Ibrahim carrelle une cour carrée à Bamako : elle mesure \(8\) carreaux de côté. Combien de carreaux faut-il ?

Voir la solution

Le nombre de carreaux est \(8 \times 8 = 8^2\) (« 8 au carré »). On calcule : \(8^2 = 64\). Il faut \(64\) carreaux.

À toi de jouer

Calcule \(3^4\), \(10^3\) et \(1^{7}\).

Voir la solution

\(3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81\) ; \(10^3 = 1\,000\) ; \(1^7 = 1\) car \(1\) multiplié par lui-même donne toujours \(1\).

Erreurs fréquentes

Multiplier la base par l'exposant : écrire \(4^3 = 12\) au lieu de \(4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64\).
Échanger base et exposant : croire que \(2^3\) et \(3^2\) sont égaux (\(8\) et \(9\)).
Se tromper dans le nombre de facteurs : écrire \(5^3 = 5 \times 5\). Il faut autant de facteurs que l'exposant.
Compter mal les zéros : \(10^4\) a \(4\) zéros, c'est \(10\,000\), et non \(1\,000\).
Confondre les noms : dans \(a^n\), la base est \(a\) (en bas, en grand), l'exposant est \(n\) (en haut, en petit).

Récapitulatif

\(a^n = a \times a \times \cdots \times a\) avec \(n\) facteurs égaux à \(a\).
\(a\) est la base, \(n\) est l'exposant.
\(a^2\) se lit « \(a\) au carré », \(a^3\) se lit « \(a\) au cube ».
\(a^n\) n'est pas \(a \times n\) : \(2^3 = 8\), alors que \(2 \times 3 = 6\).
\(10^n\) s'écrit avec un \(1\) suivi de \(n\) zéros.

Puissance

Écriture courte d'une multiplication répétée d'un même nombre : \(2^3 = 2 \times 2 \times 2\).

Base

Le nombre que l'on multiplie par lui-même : dans \(5^3\), c'est \(5\).

Exposant

Le petit nombre en haut à droite : le nombre de facteurs. Dans \(5^3\), c'est \(3\).

Au carré, au cube

\(a^2 = a \times a\) (aire d'un carré) ; \(a^3 = a \times a \times a\) (volume d'un cube).

Puissance de 10

\(10^n\) : un \(1\) suivi de \(n\) zéros. \(10^6 = 1\,000\,000\).