Le cercle inscrit dans un triangle

Introduction

Dans un triangle, le cercle inscrit est un cercle qui touche chacun des trois côtés. Il est aussi appelé cercle incirconscrit.

Définition

Le cercle inscrit d'un triangle est le plus petit cercle contenant le triangle et touchant ses trois côtés. Son centre s'appelle le centre du cercle inscrit, noté I.

Construction du cercle inscrit

1. Dans un triangle, tracer les bisectrices des angles.
2. Le point d'intersection de ces bisectrices est le centre I du cercle inscrit.
3. À partir de ce centre, tracer un cercle qui touche tous les côtés du triangle.

Propriétés du cercle inscrit

• Le centre du cercle inscrit se trouve à l'intérieur du triangle.
• Le rayon du cercle inscrit, appelé le rayon in, est la distance du centre I à un des côtés du triangle.

Ce rayon peut se calculer en utilisant la formule : \[ r = rac{ ext{Aire du triangle}}{ ext{périmètre} / 2} \]

Calcul du rayon in

Si \( S \) est l'aire du triangle et \( P \) son périmètre, alors :

\[ r = rac{2S}{P} \]

Résumé

Le cercle inscrit est un élément important du triangle, il permet de mieux comprendre la symétrie et la géométrie du triangle. La construction est accessible avec un compas et une règle en utilisant les bisectrices.